三角比の基本

どうしてsin(90°-θ)=cosθや、cos(90°-θ)=sinθ、tan(90°-θ)=1/tanθ がなりたつのですか？ 調べては見ましたが、加法定理とかを使っていてよく分かりませんでした。上の内容については数学Ⅰの本で見たもので、調べてみたら加法定理は数学Ⅱの本に書いてありました。 加法定理？等は使わずにどういう成り立ちかを教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

早苗さん、こんにちは。はじめての方かな？前に来たことがあります？ さて、あなたは今数学Ⅰをやっているのですね。数学Ⅰに出てくる公式は数学Ⅱを使わずに証明(説明)ができます。 あなたは何を調べたのかな？数学Ⅰの教科書を持っているのなら、そこに書いてあるのが一番詳しいです。 ９０°ーθの公式は、直角三角形を書いて、直角以外の１つの角をθとすれば、残った角は９０°ーθになりますから、 θと９０°ーθのサイン・コサイン・タンジェントを三辺の比（分数）で表していて下さいね。すると同じものや符号だけが違うもの、分母分子が入れ替わったものが出てきますので、公式が成り立っていることが確かめられます。 １８０°－θの公式は、「三角比の拡張」の後の話なので、座標平面上の半径ｒまたは１の円を考えて確かめられます。 θを適当に（４５°近くだと図ではっきりしないので、だいたい２０°から３０°くらいに）取ります。１８０°－θを表すのは、１８０°すなわちⅹ軸の負の方向から時計回りにθだけ回ったところが表していますね（言葉だけではわかりにくいですね。教科書の図をながめながら読んでください）。この時のθや１８０°－θのサイン・コサインをｘやｙ（やｒ）で表してみれば、まえと同様、同じもの、符号の違うものがありますので、公式が確認できます。タンジェントだけはコサインぶんのサインを考えて確認できます。 以上、理屈です。 使う時は円の図を使うのが楽です。θを２０°から３０°くらいに決めて図を書き、９０°ーθの位置や１８０°－θの位置を書き込んで、その図で合同な三角形を見つけて、比べます。横方向の長さがコサイン、縦方向の長さがサインを表しますから、正負も考慮して公式が導けます。タンジェントについてはコサインぶんのサインを考えて求めますよ。 下に図も添付しますから見てください。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。会話型をめざしています(笑)。コメントがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。よろしくお願いしますね。