隣接３項間の漸化式

隣接３項間の漸化式の特性方程式についての質問です。 なぜa(n+2)=x²、a(n+1)=x、a(n)=1 と置き換えられるのか分かりません。もしa(n)が等比数列ではなかったら、この置き換えは成り立たないのではないですか？

ぬーん　ぬぬーんさん、こんばんは。 わ！特性方程式の説明ですか！解説は大変です。授業でやらなかったですか？ がんばって書いてみますね。 ３項間漸化式$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0$ …①を $a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)$…② という形に変形できたらいいなぁ！！という願望から始まります。 このように変形できれば$b_n=a_{n+1}-\alpha a_n$ と置いて、数列$b_n$ を等比数列に持ち込めるからです。 で、そのようにできたとして、①と②は同じものなのだから、②を展開して整理すれば①になるはず。 ②→$a_{n+2}-(\alpha + \beta)a_{n+1}+\alpha \beta a_n=0$…③ ③は①と同じなんだから、係数も同じ。つまり $-(\alpha + \beta)=p,\alpha \beta=q$ つまり $\alpha + \beta=-p,\alpha \beta=q$ これを見て、「なぁんだ！α、βって、足したらーｐ、かけたらｑなんだから、それは ２次方程式 $x^2+px+q=0$ の解だってことじゃん！！ だから、①から変形してうまく等比数列を導く②の形のα、βって ２次方程式 $x^2+px+q=0$ を解けば求まるんだ！！」 ということなんですよ！ もし、a(n+2)の係数が1でないときは、その係数で全体を割って1にして考えますよ。すると同じことになりますので、割らずにそのまま２次方程式にしてしまえばいいのです。 それと、αとβは入れ替えても成り立つんだ、ということも、そのあとで重要になりますね。 そうなったらいいな、そんな風にしたいな、という意志から、求め方を探したら、「a(n+2)=x²、a(n+1)=x、a(n)=1 と」置き換える方法を発見したってことなんです。なぜ置き換えるのか、ではないのです。わかりますか？どちらかというと置き換えたっていうより、p,qを使って別に２次方程式$x^2+px+q=0$を作る、という感じでしょうか。 なお、元の数列が等比数列か否かは問題ないです。元の数列がどうなるかは、その後の話です。 また、２項間漸化式の特性方程式も同じ考え（こうなったらいいなぁ）で説明ができますので、考えてみてください。 これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。よろしく。