部分空間の基底と次元について

基底や次元の意味や、例題についてある程度参考書を読んでいきましたが、正方行列にできない時の解き方がよくわかりません。 そもそも独立であるかどうかを調べていけば解ける問題だと思うのですが、具体的な記述がよく分かりませんので、教えて頂けると幸いです。 画像の4番の(1)が分かれば嬉しいです。残りは頑張って考えます！

station trashさん、こんにちは。 極限の問題に回答してくれてありがたいです。１人じゃ苦しいですので。またお願いしますね。 やっぱり回答は書けません。大学ではもっとスッキリしたやり方があるのでしょう。 私が考えたのはたぶん泥臭いです。１次独立の定義にまで戻りますので。 各問のベクトルを前から順に番号をつけてa1,a2…として説明します。 （１）実数p、q、ｒを用いてpa1+qa2+ra3=0という式を成分で書いた連立方程式が、p=q=r=0の時にしか成り立たないので、この３つのベクトルは独立。よってこの３つが基底の１つの例で、独立なものが３個とれたから３次元空間。 （２）うえと同様にすると、p=k,q=-4k,r=kみたいな０でない解が存在するので、この３個は１次従属。 どれか１つを除いた２個、例えばa1とa2を調べると独立。よって、例えばa1,a2が基底。次元は２。 （３）に至っては、そのようなやり方はとても大変そうなので、やってません。でもよく見たらa2,a3は第１，２成分が同じで他が異なるから独立。a4,a5も同じような観点から独立。そしてa2とa4も独立ですので（これは上のようなやり方で確かめられる）、結局a2,a3,a4,a5と４個の独立なベクトルがとれたのでこの４個が基底の例。４次元。あ、ちょっと無理があるかも。これは保証できませんね。 やっぱり、もう大学の数学は忘れました！５５年も前のことです！ダメです。