背理法、対偶を用いた証明法

この命題の対偶「a+bとabが互いに素でないならば、aとbは互いに素でない」を証明する。 このとき、a+bとabはある素数pを公約数にもつ。　 ︙ 画像の青ペンの｛｝と同じ内容 ︙ ゆえにaとbは互いに素でない。 したがって、対偶が真であるから与えられた命題も真である。 というように対偶を使った証明方法でもこの問題は証明できますよね？ 背理法での証明と対偶を用いた証明の使い分け方を解説してほしいです。お願いします。

あいうえおさん、こんばんは。 あなたが書いた対偶を証明するやり方で大丈夫です。 どちらでやらなければならないということはないです。 単に論理の流れが異なるだけで、あなたが書いたように、大筋の記述は同じになります。 初めと最後の言葉遣いが異なりますね。 背理法の時は、 「ａ，ｂが互いに素であって、a+b,abは互いに素ではないと仮定する。」 です。 対偶法では「証明する命題の対偶が真であることを示す。対偶は「a+b,abが互いに素ではないならば、ａ，ｂも互いに素ではない」である。」 という書き出しで証明が始まります。 最後は、背理法では 「よってこれは矛盾。よって仮定が間違っている。すなわちａ，ｂが互いに素ならａ＋ｂ，ａｂは互いに素である。」で終わります。 対偶法では「以上より対偶が真であることが証明された。よって元の命題も真である。」で終わりますね。 ま、細かい言葉遣いは違っても、こんな感じです。どの問題ならどっちということはないです。あなたの書き方で充分だと思いますよ。 これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてください。