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割り算の余りの性質
（4）の問題について質問があります。
a²⁰¹⁹=a²⁰¹⁶a³=（a⁶）³³⁶・a³という変形はどのような思考で導き出しているのでしょうか？2019が6の倍数（2の倍数かつ3の倍数）になるように3で引いて2016というような感じでしょうか？
回答
あいうえおさん、こんにちは。
２数XとYについて、Xをｐで割った時の余りがｒ、ｙをｐで割った時の余りがｓのとき、２数の積ＸＹをｐで割った時の余りは、余りの積ｒｓをｐで割った時の余りに等しい。という、重要な事柄があります。（累乗は積です。）これは理解できてますか？これがこの手の問題を解くための道具になります。
(4)の解説の初めの方の３行は大丈夫でしょうか。ここまででａ⁶を７で割ったら余りが１になることを導いています。
累乗の指数が大きい時は、とにかく余りが１になるような累乗を見つけることが先決です。
あとはこの６をもとに、6乗ごとに余りが１ですから、それを何回繰り返しても余りは1ですね。
なので、２０１９回の中に6回がいくつあって、残りがいくつなのかを知ろうと思います。
２０１９を６で割ると商が３３６，余り３なので、
$a^{2019}=a^{6\times336+3}=(a^6)^{336}\times a^3$
と考えてやれば、$(a^6)^{336}$ の部分は余りが１となるので、あとは $a^3$ の余りだけを考えればいいということになります。
どういう思考でかというと、２０１９回が（余りが１になるような）６回のサイクルを何回含んでいるかを調べ、その部分は余りは１と分かるので、あと、残りの３乗分をしらべればいいとわかるのです。
２０１９÷６＝３３６余り３というのがそもそもの思考です。
これで大丈夫ですか？いつものようにコメント欄に返事を書いてください。
くさぼうぼうさんの解説を読んでもう一度問題を考えてやっと解りました。 a²を7で割った余りは、2²=4を7で割った余り4に等しい。よって、（a²）³=a⁶を7で割った余りは4³=64を7で割った余り1に等しい。 でもできるのでこの手の問題は二乗と三乗、六乗で考えていくのが良いですかね？
あれ？違ってるじゃないかな。「a²を7で割った余りは、３²=９を7で割った余り２に等しい。よって（a²）³=a⁶を7で割った余りは２³=８を7で割った余り1に等しい。」ですね。
ごめんなさい、（3）の7m+2に引っ張られてました間違ってます。 この手の問題は2乗、3乗を使って余り1を見つけていくことが良いですかね？
はい、そういうことですね。何乗でうまくいくかはやってみないとわからないので、不安ですけれどね。
やはりそこは慣れですよね。親切に教えて下さり、ありがとうございました。