桁数と最高位の問題

log(10)2＝0.3010、log(10)3＝0.4771、log(10)7＝0.8451とする。 (1) 2×7^30の桁数と最高位の数を求めよ。 (2) 5^37+7^30の桁数と最高位の数を求めよ。 この問題がわかりません。 (1)は26桁、最高位は4と求まりました。 (2)は(1)をヒントに2×5^37の桁数と最高位の数を求めればいいと思ったのですが、不等式をうまく作れず繰り上がりが起こるかどうかの判断ができません。 解答が手元にありません。 解法を教えてください。

shunさん、こんにちは。お久しぶりですね。 なるほど、やってみましたが、最高位の数字だけでは２＋７＝９で、その下からの繰上りがあるかどうか調べなくてはなりませんね。 しょうがないので、最高位とその次まで調べましょう。 $\log_{10} 7^{30}=0.8451\times 30=25.357=24+1.357$ 対数1.357となる真数がいくつか調べます。最高位が４÷２で２ですので、２０から２９までで対数が求まるものを探すと20,21,24,25,27,28については問題に与えられた対数から求まりますね。やってみると２１の対数が1.3222、２４の対数が1.3801なので 1.3222<1.357<1.3801より$7^{30}$ の上２桁は２１，２２，２３のいずれかであることまでがわかります。 同様にして$5^{37}$ についても上２桁を調べますよ。 $\log_{10} 5^{37}=25.863=24+1.863$ 最高位は７と分かっていますので、７０から７９までの数で対数が求められるものを調べます。 70,72,75の対数は求まりますね。やってみると７２の対数が1.8451、７５の対数が1.8751で 1.8451<1.863<1.8751より$5^{37}$ の上２桁は７２，７３，７４のいずれかであることがわかりました！ これなら、$7^{30}$ と $5^{37}$ を足し算しても繰上りは起こりません。 よって和の最高位の数は９と定まりますね！！（疲！） 桁数は変わらず２６桁。 これで大丈夫ですか？前のように、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。