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整式
この解説の8行目の(n-3)(n-a-1)=3ってどうやって導いたのか教えてください．
自分のでも最終的に8行目と同じになりますが、解説はその過程を省略しているのか、別の解き方があるのかが知りたいです．
回答
だいすうさん、こんばんは。
ま、たいていは因数分解でもしようとしてみますね。
ａがついているものとついていないものに分けて、それぞれを因数分解します。
これは文字の多い式を因数分解するときの定石ですね。
＜次数の小さい文字について整理する＞ということです。
$n^3-(a+1)n^2-12m+9a=0$
$(n^3-n^2-12n)-a(n^2-9)=0$
$n(n+3)(n-4)-a(n+3)(n-3)=0$
$(n+3)\{n(n-4)-a(n-3)\}=0$
m(=3)とｎは互いに素だからｎ≠３
よって
$n(n-4)-a(n-3)=0$
これを何とかして「因数分解の式＝整数」の形に変形したんでしょうね。
$n^2-(a+4)n+3a=0$
$n^2-(a+4)n+3(a+1)=3$
$(n-3)\Big(n-(a+1)\Big)=3$
$(n-3)(n-a-1)=3$
ま、こんなことをすれば出てきます。が、それにしてもあまりに不親切な解答ですね。
読んだってわからないですよね。
それと、私はなぜｍが３と決まるのかがちょっと疑問です。ｍ＝６なんかは排除できるの？あるいは｛ ｝の中が３の倍数ということも排除できるのかなぁ。そのへんの解説もあまりに少ない。互いに素だけでそこまで言えるんでしょうかね。
そこらへん、ぜひ教えてください。回答者が質問者に質問するっていうのも変ですが。
あなたの答案、ｎ²－９≠０であることを言わないと、ｎ²－９で割れませんよ。答案書くときは気を付けて。
なるほど！そういう式変形だったのですね。解説ありがとうございます。全然思いつけなかったので解法のストックに入れときます。(あとマーク問題だったのでn^2-9≠0断るの忘れてました(言い訳) 気をつけます！) くさぼうぼうさんの質問ですが、自分は初見では 「整数係数の方程式 a_n*x^n+a_n-1*x^n-1...+a_0=0 が有理数の解を持つならば、その解は a_0の約数/a_nの約数 となる」・・・★ ってことを用いてm=3と一意に決定しました。 (証明は有理数解をx=q/p(p、qは互いに素)とおいて式変形したらanがpの倍数、a0がqの倍数となって終わりです) ｛｝の中が3の倍数だったらということですが、もしそうだとすると解説から3行目のしきは、n^3=m×整数となって互いに素であることに矛盾します。m=6とか9とかは排除できるかは自分はわかんないです… ただ、★を用いるなら排除できます。 あ、解説の1行目でn、mは素数って書いてるからm=3と決まりますね。ただn、mは素数で置くことってできるんですか？自分はこういう系は整数で置いてきたのですが… PCのキーボードがぶっ壊れてiPadから入力してるので読みにくいかもです。
あ、素数って書いてありましたね。なんで素数に限られるのか？5/12とかにならないの…。頭がボケたみたいだ。
確かに中かっこが3の倍数ではためですね。ありがとうございました。
残った疑問は、既約分数の分母と分子が素数に限られるのかです。もっとも、あなたの書いてくれた約数云々でm=3は決まりますね。