場合の数

写真の問題の19番の考え方がよくわかりません。 自分でも解こうとしたのですが、問題が根本的に分からず、困っています。 解説をおねがいします！

あ　あ　さん、こんにちは。 これはよくある質問で、困っている人が多いやつですね。 式を書かれてもなかなかイメージが湧かないかも。 説明しますが、想像力をたくましくして柔軟に考えてください。 まずは、聞かれてもいない例題１をイメージで考えることを説明します。 これをもとに問題１９をやりましょう。 例題１です。ベン図で行きますよ。要素の個数は面積が表していると思ってください。 全体集合の面積が５０ｃｍ²と決まっています。 集合A,Bは柔らかいゴム紐かなんかでできていて、面積は３５ｃｍ²と２０ｃｍ²に決まっていますが、形はふにゃふにゃしていると思ってください。 話は、A,BがUの中に入っています。でもA,Bの面積の合計は５０を超えてしまっていますから、いくらかは重ならなくてはなりません。またAとBの重なり部分が大きければ、Uとの隙間ができそうです。 重なり部分の面積がn(A∩B)、A,Bが存在するひょうたん型の部分の面積がn(A∪B)、Uの中でA,Bのない部分（Uが見えている部分）の面積が$n(\bar{A} ∩ \bar{B})$ ですね。 さて、やっと例題の本題に入ります。問題はn(A∩B)の最大最小を聞いています。じゃ、頭の中で、ゴムひもでできているA,BをUのなかで動かしてみましょう。n(A∩B)が最大になるというのは、AとBの重なっている部分が一番多い状態を聞かれています。頭の中でAとBを動かして重ねてください。重なりがドンドン大きくなって、BがAにすっぽり入ってしまった時が重なりが最大ですよね。どう動かしたってそれ以上は重なった面積は増えません。（あ、A,Bの面積(大きさ）は変わらないのですよ。形はフニャフニャして変化できますが）よって最大値はBの要素と同じ２０個。 次は最小値です。重なりが小さくなるようにA,Bを動かしたり変形したりしてみてください。頭の中でも、紙に書いてもいいですね。Aをできるだけひだりに動かしてUの四角にくっつけちゃいます。Bは右のほうに動かしてUにくっつけちゃいましょう。Uの四角は隙間なく埋められてしまいました。これが重なり部分が一番小さい状態です。さて、どれだけ重なっているでしょう。四角が５０、A,Bが３５，２０こだから ３５＋２０－５０＝５個は重なってしまいますね。最小でもこれだけは重なってしまいます。これがn(A∩B)の最小値、というわけです。 以上が例題１をベン図をもとに、あまり式を立てずに考えました。初めのうち、イメージをつかむのにはこれがいいと思います。 さて、問題１９です！ n(U)＝１００、n(A)＝７５、n(B)＝８０です。Aは風邪薬を持って行った人の集合、Bは胃腸薬を持って行った人の集合です。 （１）はn(A∩B)の最大最小ですから、上に書いた考え方で、数字だけ変えてやってみてください。 （２）は$n(\bar{A} ∩ \bar{B})$ の最大最小です。$\bar{A} ∩ \bar{B}$ ってベン図ではどこだかわかりますか？そう、A,Bが乗っていないでUが見える隙間の部分ですね。これはA,Bをどのように置いたら大きくなったり小さくなったりするでしょうか？考えてみてください。実は動かし方は(1)と同じですね。あとはその隙間の要素の個数はいくつになっているかを考えてください。 問題１９の途中は書きませんでしたが、解答は持っていますね。答え合わせをしてみてください。 うまく考えられなかったら、コメント欄で聞いてください。 これで大丈夫ですか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。会話型を目指しています（笑）。よろしく！