定義、定理、公式について

数学の勉強について質問かあります。 先ほど合成関数の勉強をしていました。 参考書の解法をノートに書き写してたところ、 0<a<A ↔︎ 1/a > 1/A > 0 ・・・① というところから、値域を求めている記述があります。 ①は、言われてみれば、成り立つことはわかるのですが、言われないと思いつきません。 数学が得意な人は、 ①のような、定義？定理？公式？は、 頭に入ってるのでしょうか。 それともその場で思いつく？のでしょうか？

こんにちは。 ま、別に定理とかいうほど大げさなものではないですが、 0<a<bのとき、全体を積ａｂ（←正の数）でわれば、 $0<\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{a}$ となります。これを逆に使うことも多いです。 これは、頭の片隅にでも入れておいて、分数の大小関係が問題になったときに、引き出しから出せるといいです。 この問題に限っては、べつにそんなことを持ち出さなくたって大丈夫ですよ。自分の言葉で説明をかけばいいのです。 ＜分母の$x^2-2x+3$ は２次関数だから、グラフを考えると頂点のところで最小になるなぁ。＞と思って、平方完成し、頂点のｙ座標すなわち分母の最小値を求めます。 以下、答案： $x^2-2x+3=(x-1)^2+2\geqq2$ よって分母は２以上なのだから、その逆数は$\dfrac{1}{2}$ 以下。 ただし、分母がいくら大きくなっても分数の値は０以下にはならないので、 $0<y\leqq\dfrac{1}{2}$ （終わり） これで十分だと思います。 これで大丈夫ですか？