【線形代数・垂直なベクトルpを求める】

【線形代数】 （初投稿になりますので不手際ある場合はご指摘いただけますと幸いです） はじめまして、現在大学2年生になります。 線形代数の講義を受講している者です。 ▼問題 2つのベクトル　a = (1,0,1)　b = (2,-1,3)　が与えられているとき、 ベクトルaに垂直なベクトル±( a*b / ||a||² × a - b )を利用してaに垂直な単位ベクトルを求めよ　 ▼解き方 aに垂直なベクトルをpとしpを求める p / ||p||を導き出す ▼解答 p / ||p|| = ±√2/√3(1/2,1,-1/2)・・① = ±1/√6 ( 1,2,-1)・・② ▼質問 この最後の部分の解②「±1/√6 ( 1,2,-1)」が理解できません。 ・なぜ①の±√2/√3が±1/√6になるのでしょうか？ ・なぜ①の成分が(1,2,-1)になるのでしょうか？ p / ||p||というのはpを||p||で割ると認識しております。 ノルムpと成分が変化する理由が分からず・・計算工程を教えてください。 ▼考察 １，成分表内に×2がされていると推測しました √2/√3を有理化⇒2/√6 ×2をしたところ4/√6になるので解答の1/√6と合わず。 ２，√2/√3を有理化した2/√6が1/√6に変形しているので1/2を掛け合わせているのかと推測しました。 成分内に1/2を掛け合わせると(1/4,1/2,-1/4)とこれまた解答と異なる結果になります。 成分表内に対しては2が掛けられており、||p||に対しては1/2が掛けられていると見受けられます。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 追記：自己解決できました。 成分内を2倍したら外枠は1/2倍するルールが自分の中で抜けていました。 　√2/√3を有理化し2/√6 　成分内で2を掛けたので外側には1/2を掛ける 　1/2*2/√6 = 1/√6 1/√6になりました。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Kato Aさん、こんにちは。はじめまして。 三番目の「▼質問」について、まず書きますね。 いちばん確実なのは、ベクトルのまえにかけてある $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$を成分にかけてしまい、単純なベクトルにします。 $=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}\Big(\dfrac{1}{2},1,-\dfrac{1}{2}\Big)$ $=\pm\Big(\dfrac{\sqrt{6}}{6},\dfrac{\sqrt{6}}{3},-\dfrac{\sqrt{6}}{6}\Big)$ $=\pm\Big(\dfrac{\sqrt{6}}{6},\dfrac{2\sqrt{6}}{6},-\dfrac{\sqrt{6}}{6}\Big)$ と、分母をそろえて、共通因数である $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ を外にくくりだします。 $=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{6}(1,2,-1)$ となります。これが答としてはいいと思いますが、解答に合わせるなら、前に出ている分数の分母分子を√６でわります。 別な考えとしては、カッコの中を整数にするために２をかけますが、ベクトルとして変わらないためには、前に出ている数のほうを２で割ってやればいいです。 $=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}(1,2,-1)$ $=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{6}(1,2,-1)$ ベクトルｐをｐのノルムで割るのは、単位ベクトルにするためですね。 もしｐのノルムが２だったら、ｐを２で割ればノルムが１の、ｐと同じ向きの単位ベクトルが得られますので。 「▼考察」の２行目、分子を有理化したのですね！そのあとは×２ではなく、÷２です。成分表示の中を2倍したのだから外は÷２にしておかないとあいません。 ５行目、外の数を２で割ったら、中の成分は２倍しないとあいませんよ。 ６行目、そのとおりです。だから全体として変わらない変形になっているのです。 それはそうとして、この問題が全部示されていない状態での質問なのでこれ以上は推測ですが、 ベクトルｐは何なのですか？問題では何を求めろと言っているのですか？Pはａには垂直ですが、ｂには垂直ではないですね。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、分かったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。会話型を目指しています（笑）。コメントがないと、せっかく書いたものがよまれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうかが、こちらではわかりません。よろしくお願いしますね。