無限級数　部分和で場合分け

数学Ⅲ 極限です。 この問題のコラムのところなのですが、何を言っているのかいまいち理解できないので教えていただきたいです。 僕は　n＝4の倍数＋1 のときと 　　　n＝4の倍数＋3のときを個別の数列と見てそれぞれ無限級数を求め、足し合わしてやって一応できたのですが、この方法でもよろしいのでしょうか？

勉強太郎さん、こんばんは。久しぶりですね。 あなたの答案を見ないと何とも言えませんが。 無限級数の和はちゃんとした定義があって、「部分和$S_n$ の極限が有限に収束するとき、無限級数も収束するという」ですので、それぞれの無限級数っていうのを考えて足すのではだめです。 ４つの部分和 $S_{4m},S_{4m+1},S_{4m+2},S_{4m+3}$ をそれぞれ求めて、そのどれもがｍ→∞のときに同じ値に収束するかどうかを議論します。テクニック上は $S_{4m+1},S_{4m+2},S_{4m+3},S_{4m+4}$ のほうが楽ですが。なぜかというと $S_{4m+1}=S_{4m+2},S_{4m+3}=S_{4m+4}$ なので、すこし手間が減ります。 それぞれの部分和は初項が $\dfrac{1}{3}$ 、公比が$-\dfrac{1}{9}$ の等比数列の第〇項までの和として求めてｍ→∞とします。それが厳密なやり方です。 ただ、この問題に限れば、書き下してみると $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k=\Big(\dfrac{1}{3}\Big)+0+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)\Big(-\dfrac{1}{9}\Big)^1+0+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)\Big(-\dfrac{1}{9}\Big)^2+0+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)\Big(-\dfrac{1}{9}\Big)^3+0+\cdots$ $=\Big(\dfrac{1}{3}\Big)+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)\Big(-\dfrac{1}{9}\Big)^1+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)\Big(-\dfrac{1}{9}\Big)^2+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)\Big(-\dfrac{1}{9}\Big)^3+0+\cdots$ なので、単に初項が $\dfrac{1}{3}$ 、公比が$-\dfrac{1}{9}$ の無限等比級数だから、いっぺんに求められますがね。 でもまぁ、この例題？の学習の主題は「ｎの値によって周期的に異なる形をする数列の無限和は、それぞれの場合の部分和を求めて、それらの極限がすべて一致することを確認しないと、全体の極限値は求められないぞ！」ということなので、そのやりかた（４種の部分和を求める、ｍで記述する）でやってみてはどうでしょうか。 これで大丈夫ですか？分かったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。