数列の和と極限

U S (id: 2482) （2023年10月1日11:10）

解答の1行目題意からVnとVn-1の体積の差をVnとしており、nは奇数なので、式に翻訳すると、 V2k-1= Uk (k=1,2,3,・・・,m) としています。ここで、質問です。 V2k+1(k=0,1,2,・・・,m-1) としても、結果は同じとなりますか？初歩的かもしれませんが、教えて頂きたいです。宜しくお願いします。

回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年10月1日11:21）

$V_{2k+1}=U_k$ とするのですね。途中の計算は多少違うと思いますが。結果というか、答は同じになるはずですよ。Ｕの番号が０からですから気を付けてください。同じ答えにならないときは、あなたのノートを見せてください。アドバイスしますよ。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（追記　10/01　16:00）じっくり書きます。そもそもあなたの考えで書くと、模範解答の1行目は $V_{2k+1}=U_k$ $(k=0,1,2,\cdots,\big(m-1)\big)$ 、$2(m-1)+1=n$ とする。となります。けっこう面倒ですので、よく考えてください。だって、ｋはさいごはｍ－１になって、その時のVの番号はｎなのです。 $V_{2(m-1)+1}=U_{m-1}$ で、この$2(m-1)+1$ がｎなのです。ふ～、頭がこんがらがります。説明を書くのも難しいです。 $2(m-1)+1=n$ から $m=\dfrac{n+1}{2}$ が得られます。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

U S (id: 2482) （2023年10月1日11:53）

同じ答えになりませんノートを添付します数列の和の公式の使用方法が異なってますか？

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年10月1日12:00）

シグマの始まりはk=0からですよ。そうなると公式への適用も十分注意しないと。そういうわけで、解答ではk=1から始まるように設定していますね。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年10月1日12:18）

あ、でもどうせ0だから関係ないか…

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年10月1日12:22）

あ、2乗のシグマの公式への当てはめが間違ってます。m+1ではなく2m-1では？最後の1のシグマはm-1ではなくmではない？

U S (id: 2482) （2023年10月1日13:29）

ありがとうございます。計算って恐ろしいですが、日々練習します。できました！解き直したものをアップ済みです。最後nを無限に飛ばすので、無理矢理ですが。。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年10月1日15:08）

途中がおかしいです。極限があったとしても、これでは偶然だとみられて点数はだいぶ減りそうです。まず、そもそもシグマは０からｍ－１でやらなくてはいけないのだから、１をシグマしたときはｍ－１ではなくｍです。最後から2枚目の写真の計算、1行目の最後はｍ－１ではなく、ｍです。なので、ｍ－１でくくれるとかないです。もう一度ていねいに計算してみてください。最終的にそんなすごい値（ルートとか）は出てこないですよ。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年10月1日15:35）

最後のほうで、ｍの式をｎの式にしたら、解答のｎの式と同じになりますから。あ、もっと前のほうの「また２ｎ＋１＝ｍからn=(m-1)/2」が違います。2n-1=mからn=(m+1)/2ですね。

U S (id: 2482) （2023年10月1日15:43）

最初に、 2m+1=n と置いて計算を進めているのですが、これはなぜダメなのですか？

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年10月1日15:49）

え～と、上の回答に追記しますね。ちょっと時間をおいてから見てください。

U S (id: 2482) （2023年10月1日15:51）

承知しました＾＾

U S (id: 2482) （2023年10月1日19:37）

ご丁寧に解説ありがとうございます。明日から家族の用事を優先のため質問の頻度は激減すると思います。くさぼうぼうさんのおかげで数学の面白さを再認識しました。取り急ぎお礼まで。また時間できたら投稿させて頂きます。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年10月1日20:01）

はい、またいつでもおいで下さい。

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