【高校数学】傾きと最大値の問題にまつわる質問

文系浪人生です。 画像4枚目の問題(2)についての質問になります。 この本の解説では画像1,3枚目のように円Cと直線ABの右側の交点(5,5)におけるCの接戦の傾きを基準に直線L'(y=ax+m)の傾きの場合わけを行い、y切片mの最大値を求めようとしています。 そして場合分け(ア)において、a≦-2のもとでは直線L'が(5,5)を通る時にmが最大になるとしていますが、ここの解説が納得できないためより詳しくご教示願いたいです。 私の考えとしては、例えば画像2枚目のように傾きをほぼy軸に平行になるような形で設定すれば、(5,5)を通るとき以上に大きなmが得られるように見えます。 もとの解説でもこの部分の説明だけ図の見た目のみによるものだったのでそこがより私の理解を妨げています。 可能であれば高校数学の範囲で説明していただけると幸いです。 よろしくお願いいたします。

Muraさん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 さて…あなたはひょっとすると勘違いしているのかもしれません。 この問題は、ａの値は定数です。定数ａに対するｍの（ｙ切片の）最大値を求めなさいという問題なのです。 単にｍの最大値を求めよ、と言われれば、あなたが考えたように、ａを大きくすればｍはいくらでも大きくなれます。 でもこの問題は「y-2xの最大値を求めよ」「y-8xの最大値を求めよ」「y+4xの最大値を求めよ」という具体的な問題の代わりに「y-axの最大値を求めよ」となっているのです。ですからａの値すなわち直線の傾きがどのような値かによって最大値を取る点が異なるので、場合分けをして考えていきます。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。コメントがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりません。よろしく。