ベクトル

こちらの問題の(1)です。 ベクトルPQの大きさが最小となるのは、L1とベクトルPQ、L2とベクトルPQが垂直になる時という部分を直感的に理解することはできたのですが、友だちにうまく説明することができませんできた。 どのように説明できるか教えていただきたいです。

らいとさん、こんばんは。 つっこまれると、実は論理がすこし甘いのですが、普通はこんな風に説明されます。あなたもそうしたのかもしれませんが。 ねじれの位置にある２直線の距離とは、両直線上の２点間の距離の最小値だ、と定義します。 またL1上の点PとL2上の点Qで、PQ⊥L1、PQ⊥L2であるような点P,Qを考えます。この２点間の距離をｄとします。 L1上の点で、Pとはｘだけ離れた異なる点をP'とします。P'Q間の距離は $\sqrt{d^2+x^2}>d$ となり、ｄより大きくなるので最小ではなくL1,L2の距離ではない。同じくL2上の点で、Qよりｙだけ離れた点をQ'とすると、PQ'間の距離は $\sqrt{d^2+y^2}>d$ となり、これもｄより大きくなるので最小ではなくL1,L2の距離ではない。よってPQが最小値で、すなわち２直線間の距離になるでしょ！ らいとさん、私に突っ込まないでくださいね。あとは自己責任で（笑）説明に使ってください。 もうひとつ。 初めは空間内で平行な２数直線L1,L2を考えます。おなじ数値の点を結ぶ線分（０と０'を結ぶ線分、１と１'を結ぶ線分、…ｍとｍ'を結ぶ線分…）がすべてL1,L2に垂直であるように置きます。そのあと（ま、どこでもいいのですが）０と０’を結ぶ線分を回転軸としてL2を回転させるとL1,L2はねじれの位置になりますね。０と０’を結ぶ線分の長さは変わりませんが、他の点を結ぶ線分の長さはすべて長くなります。例えばL2上の２’が移動して２’’になったとしたら、三角形２２’２’’は直角三角形になり、２２’’は斜辺になり、もとの２２’の長さより大きくなります。というわけで、ねじれの位置にある２直線の距離（２点間の距離の最小値）は２直線に垂直な線分の長さになります。 その事実（両直線に垂直）を使わなくても、P,Qをパラメータｓ、ｔを用いて表し、距離の２乗の式を作ればｓ、ｔの２次式になりますから、まずｓに関して平方完成し、残りをｔについて平方完成すれば、それが最小値になるｓ、ｔは求まりますよね。 あと、あなたのノートの式はちょっとおかしいですね。 ①ベクトルPQとｍ１やｍ２との内積ですね。 ②内積の行の最後がベクトルの形をしていますが、それは減点されますよ。内積だから実数になるので、イコールの次はその下の式になるはずです。