最小値ですべてのxを考える

一枚目の画像が問題及び解答で、2番目が私の解答です。 すべてのxに対してというところを、minをもちいてかんがえたのですがうまくいきません。 何故このやり方だといけないのでしょうよろしくお願いします。

音弥さん、こんにちは。 え～と、ｆ（－２）、ｆ（２）、頂点のｙ座標の３つを比べれば、頂点のｙ座標がいつでもその３個のなかの最小値ですね。ｆ（－２）やｆ（２）が頂点のｙ座標より小さくなることはないですよね。けっきょく、あなたがやったのは頂点がｘ軸より上にある、すなわち判別式が正という条件を調べただけになっています。 でも、頂点がｘ軸より下にあったって、－２から２の間で値が正になることは十分考えられます。よって、残念ながら、その３個の値の最小値が正という考えが間違っていました。 ここはやはり、解答のように、区間と軸の関係で場合分けせざるを得ないでしょう。 これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてくださいね。