不定方程式

2^n+n^2+1=m^2 となる整数m,nを求めよ 申し訳ありません、先程の回答に誤りがありました。 確かに、この方程式は不定方程式として解くことができます。 まず、方程式を整理します。 2^n + n^2 + 1 = m^2 これを整理すると、 2^n = m^2 - n^2 - 1 右辺を因数分解すると、 2^n = (m - n - 1)(m + n + 1) ここで、2^nは2の冪乗なので、右辺の因数も2の冪乗である必要があります。 したがって、以下のような場合分けを行います。 1. m - n - 1 = 2^a, m + n + 1 = 2^b (a > b) 2. m - n - 1 = 2^a, m + n + 1 = 2^a (a > 1) 3. m - n - 1 = 2, m + n + 1 = 2^n (n > 1) これらの場合をそれぞれ解いていきます。 1. m - n - 1 = 2^a, m + n + 1 = 2^b (a > b) これを解くと、m = 2^(a-1) + (2^b - 2) / 2, n = 2^(a-1) - (2^b - 2) / 2 - 1となります。ただし、2^b - 2は偶数なので、分数部分が整数になることが保証されます。 2. m - n - 1 = 2^a, m + n + 1 = 2^a (a > 1) これを解くと、m = 2^(a-1), n = 2^(a-1) - 2となります。 3. m - n - 1 = 2, m + n + 1 = 2^n (n > 1) これを解くと、m = 2^(n-1) - 1, n = 2となります。 あってますかね？

そもそも因数分解違くない？