無限級数　やり方

mはおそらく自然数だと思うのですが、4mとは一体何を表してるのでしょうか？ また、S4mのあとの計算がどのような発想で行われているかよく分かりません。 できれば最初の方からどういう計算をしているかを説明していただきたいです。

あいあいさん、こんばんは。ちょっと久しぶり！ さて、数列の一般項が周期的になっていて、和を一つの式にしにくいときに使う定石です。 定石ですから、やり方を理解して使えるようになるのが大事ですね。 サインなどが出てくるときに使うことが多いです。 無限級数の和の問題ですから、まずはｎ項までの部分和を考えますね。 一般的なSnを求めるのは難しいので、場合分けをします。 (1)ｎが４の倍数の時 (2)ｎが４の倍数＋１のとき (3)ｎが４の倍数＋２のとき (4)ｎが４の倍数＋３のとき こうしてやると、Snが式化できます。 まずは(1)の場合をやって、そのあとの場合は(1)に1個、2個、3個と付け加えればいいですね。 場合を分けることによって一般的なSnを得ることができます。 場合分けだと思えば理解できるのでは？ ｍを自然数とする、と断ってから、 (1)n=4mのとき　部分和$S_n=S_{4m}=\cdots $ で、最後の写真の6行目の初めの式が得られます。（計算はあとで説明します） 式化できたので、ｎ→∞が考えられますね。 (2)n=4m+1のとき$S_n=S_{4m＋１}=S_{4m}+0=S_{4m} $ (3)n=4m+2のとき、$S_n=S_{4m＋2}=S_{4m+1}+(-\dfrac{1}{2^{4m+2}})=S_{4m} -\dfrac{1}{2^{4m+2}}$ (4)n=4m+3のとき、$S_n=S_{4m+3}=S_{4m+2}+0=S_{4m+2}=S_{4m} -\dfrac{1}{2^{4m+2}}$ これですべての場合が式化できたので、ｎ→∞のときすなわちｍ→∞のときをそれぞれ調べると、いずれも $\dfrac{1}{5}$ に収束するので、極限値が１つに決まり、求まったというわけです。場合によって極限値が異なるときは、もとの無限級数は収束しません。 で、計算部分ですが、これはなんか変な考えですね。$-\dfrac{1}{2^6}+\dfrac{1}{2^8}=\dfrac{1}{2^4}\Big(-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^4}\Big)$ と書けるし、 $-\dfrac{1}{2^{10}}+\dfrac{1}{2^{12}}=\dfrac{1}{2^8}\Big(-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^4}\Big)$ と書けるし、とにかく2個ずつまとめて考えると $\Big(-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^4}\Big)$　が作れて、共通因数としてくくりだせ、残りの部分が $\Big(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^8}+\dfrac{1}{2^{12}}+\cdots\Big)$ になるのです。 後ろのカッコのなかは初項が１、公比が $\dfrac{1}{2^4}$ の等比数列になります。和が書けますね。 $\Big(-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^4}\Big)$ の部分は計算しちゃって $-\dfrac{3}{16}$ ですね。 でも、そんなことしなくたって、初項が $-\dfrac{1}{2^2}$ で、公比が $\dfrac{1}{2^2}$ の等比数列の第４ｍ項までの和ですから、普通に等比数列の和の公式で求まりますよ！形は少し異なりますがね。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。よろしく。