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統計学・同時確率関数問題
統計検定２級のの学習中です。
同時確率関数に関する問題です。
解説には「X^2とY^2の同時確率関数は次の表になる」とありますが、それはなぜですか？
なぜこうなるかの過程が省略されているため、理解できません。
よろしくお願いします。
回答
淳さん、こんばんは。
同時確率とか、統計は詳しくないので、見当はずれだったらお許しを。
私の知識の中で考えます。
ｘ²は０と１の値を、ｙ²も０と１の値を取りますので、表の構成はそれでいいですね。
ｘ²の欄は０と１、ｙ²の欄も０と１。
じゃ、表を埋めていきますよ。
はじめ、両方とも０になる確率(左上）です。それはｘ＝０、ｙ＝０となる確率と同じなので、上の表から０と分かります。
次、ｘ²＝１、ｙ²＝０のところ（左下）は、（ｘ＝１、ｙ＝０）か（ｘ＝－１、ｙ＝０）ですから、上の表のその欄の数字を足します。
$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$ ですね。
次、ｘ²＝０、ｙ²＝１のところ（右上）は、（ｘ＝０、ｙ＝１）か（ｘ＝０、ｙ＝ー１）ですから、上の表のその欄の数字を足します。
$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$ ですね。
最後、ｘ²＝１、ｙ²＝１のらん（右下）は、（ｘ＝１、ｙ＝１）（ｘ＝１、ｙ＝－１）（ｘ＝－１、ｙ＝１）（ｘ＝－１、ｙ＝－１）の場合のいずれかですので、上の表の該当する欄の確率を足します。０です！
ということで、ｘ²とｙ²の同時確率ってものが得られたのだと思いますよ。
これで大丈夫ですか？
これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。会話型を目指しています（笑）。コメントがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしくお願いしますね。
（追記: 2023年10月30日18:22）
ごめんなさい、追記したつもりが、アップできていませんでした。
X⁴は０か１しかとりません。X⁴＝０となるのはX²＝０の時だから確率は（X²、Y²）＝（０，０）か（０，１）の時で、足し算して1/2。
X⁴＝１となるのはX²＝１の時だから確率は（X²、Y²）＝（１，０）か（１，１）の時で、足し算して1/2。
よってX⁴の平均（期待値）は０×1/2＋１×1/2＝1/2
X²Y²は０か１しかとりません。X²Y²＝０となるのは（X²、Y²）＝（１，０）か（１，０）か（０，０）のときで、足すと１．
X²Y²＝１となるのは（X²、Y²）＝（０，０）のときで、確率は０．
よって期待値は０×１＋１×０＝０．
これで大丈夫ですか？遅れてすみませんでしたね。
ご返信が遅くなり申し訳ありません。解説ありがとうございます。 上記の表のようになる理由はわかりました。 追加で質問したいのですが、E[X＾４]とE[X^２Y^２]の求め方も教えていただけると幸いです。 同じような求め方だと思うのですが、あっているかどうかの確証がないため、どうぞよろしくお願いします。
はい、上の回答に追記しました。読んでください。
ごめんなさい、追記できなくて、今しなおしました。読んでくださいね。
返信が遅くなり、申し訳ありません。 おかげ様でなんとかなりそうです。ありがとうございました。
遅い！（笑）。なんとかなればよかったですが。