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数I、II 図形の問題
ab=3、bc=5、ca=7の三角形abcにおいて内接円の中心をMとし、半径をr0とする。 また三角形abcの内部に中心Nをもつ半径r(r<r0)があるとして、円Nがab、bc、caのうち少なくとも一辺に接しつつ一周してできる図形をOとする。三角形abcからOを除いた図形をPとしてPの面積をSとする。
①r0を求める
②r=1/2のときのS
③2r<r0のときSを最小にする値rを求める
この問題について教えてください。
内接円の半径は√3/2というところまで出たのですがそれ以降がよくわかりません。
回答
あい うえおさん、こんにちは。
いや、面倒そうな問題ですね。解答は持ってないのですか？
(2)は、三角形の隅っこに出来るすきま３つの合計ということかな。
(3)は、隅っこ３つと、中央の三角形ということか。
少し考えてみますが、
解ける自信はないです（泣）。
解答をお持ちならアップしてください。せめて答の数値だけでもほしいですね。
（追記: 2023年11月3日12:08）
出典がわかっていれば教えてください。ひょっとして自作の問題？
さて、（２）のほうは解法の筋道はできました。でも、とても計算量が多く、大変です。どこかで公に出題されたものなら、もう少し良い方法が隠されているのかもしれません。質問されましたので、とりあえず（２）のみお答えしておきますね。
ｒ＝1/2のときは直径が（１）の内接円の半径を超えますので、円が通過しなかった部分は3つの隅だけです。中央には三角形はできません。
さて、円が一番Cに近づいてBC,ACに接している状態を考えます。その時の円の中心をN、2辺BC,ACとの接点をP,Qとします。
まずは四角形NPCQの面積を求めます。
余弦定理から $\cos C=\dfrac{13}{14}$ が求まるので、半角の公式から $\cos\dfrac{C}{2}$ がわかり、それから$\sin\dfrac{C}{2}$ が求められます。で、それらを使って $\tan \dfrac{C}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$ までいけますね。NP=1/2とこのタンジェントからPCの長さがわかるので、△NPCの面積がわかり、それを２倍して四角形NPCQの面積 $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ が求まりました。
同様にしてA,Bの隅の四角形も求められます（大変だけど！）。
この３つを足して、そこから３つの扇型を引けばいいのですが、３つの扇型を足すとちょうど円１つ分になるので、大丈夫ですね。
これで（２）の答えは求まるはずです（やってないけど（恥））。
（３）のほうは、中央に三角形ができるので、（２）の方法で求めたものにその三角形の面積を足さなければなりません。が、その三角形の大きさがうまく求められていません。あなたができていたら、ぜひ教えてくださいね。
コメント、待ってます。
すいません答えはもってないです。
答えもない問題をやってどうするのか疑問ですが（笑）、かなり面倒そうです。（２）の方針を追記したので、読んでください。もっと良い方法があれば教えてください。
解答ありがとうございます。 やっぱり泥臭く面積を出すしかないですよね… 問題はこの前受けた模試なのですが答えが結果と一緒に帰ってくるので解答はまだありません… 帰ってきたらまた連絡します。 また自分でも2は出しました。 35√3/36-π/4になりました。
あ、模試でしたか。やな問題ですね。（笑）模範解答が素晴らしいアイデアだったら、ぜひ教えてください。