外心の位置ベクトルについて

2.3の証明がわかりません。よろしくお願いします。

ニキさん、こんばんは。ずいぶん久しぶりですね。 さて…（２）からいきますよ。 まずは３つの三角形△JBC:△JCA:△JABを求めればいいのですよね。 Jが外心だから△JBCは2と右辺三角形ですね。JからBCに垂線を下ろし、交点をDとします。 △JBCの底辺はBC=a、高さはJDです。 円周角と中心角の関係から、∠BJC=２∠Aなので、∠BJD(=∠CJD)=∠A。 よってJD=RcosA。ゆえに△JBC=$\dfrac{1}{2}aR\cos A$！ 同様にして、△JCA=$\dfrac{1}{2}bR\cos B$ 、△JAB=$\dfrac{1}{2}cR\cos C$ よって△JBC:△JCA:△JAB＝$a\cos A:b\cos B:c\cos C$ これを問題にあたえられた（１）式に当てはめて終わり！ということですね。めでたしめでたし。 （３）これは若干やっかいですね。３つの三角形の面積の比がα：β：γであることからスタートします。 △ABCの面積をSとしておきますね。 APを延長してBCとの交点をQとしておきます。 △PBC=$\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}S$ よってAQ:PQ=$(\alpha+\beta+\gamma):\alpha$ ←大丈夫ですか？ つまりAP:PQ=$(\beta+\gamma):\alpha$…① また、△ACP:△ABP=△ACQ:△ABQ=CQ:BQで、△ACP:△ABP＝β：γなので CQ:BQ=β：γ…② 以上より、BCをγ：βに内分する点をQとすると、点PはPQを$(\beta+\gamma):\alpha$に内分する点である。 よって（以下、ベクトルの矢印は省略しますよ） OP=OA+$\dfrac{\beta+\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}$AD =OA+$\dfrac{\beta+\gamma}{\alpha+\beta+\gamma} \Big(\dfrac{\beta AB + \gamma AC}{\beta+\gamma} \Big)$ あとはこの式に出てくるAB,ACベクトルを始点をOにしたベクトルOA,OB,OCで書き直してあげれば（１）式が出てきます。 ここは計算なのでお任せしますが。もしうまくいかないときは言ってくださいね。 これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。待ってます！ =============================================== コメント見ました。 「よってAQ:PQ=$(\alpha+\beta+\gamma):\alpha$ ←大丈夫ですか？」のところでしょうか？ これは、2つの三角形△ABCと△PBCについて、底辺はBCで共通なので、高さの比が面積の比になります。 図ではその高さは出てきませんが、ちょっと煩雑になりますが、やってみましょうか？ まず、面積の比は$(\alpha+\beta+\gamma):\alpha$ ですね。 AとPからBCに垂線を下ろして、交点をR,Sとしますね。 ARとPSが高さです。これが$(\alpha+\beta+\gamma):\alpha$ です。 △ARQ∽△PSQなので、対応するAQとPQの長さの比も同じ相似比$(\alpha+\beta+\gamma):\alpha$ になるのです。 これで大丈夫ですか？ ただ、問題を解くときに、いちいちこの相似まで持ち出して議論しなくても、この事柄（AP:AQは面積の比）は使っても大丈夫です。ま、心配ならこのように書けば問題ないですね。 あとはわかりますか？（追加終わり） ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝