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数列の収束、発散について。

    有象無象の 極み (id: 2605) （2023年11月3日22:36）
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    ある数列Anについて lim(n→∞)|An-‪α‬|=0となる‪α‬が存在しないとき、数列Anは発散すると言えますか？

    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年11月3日23:06）
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    極みさん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 存在しないというのが、どんな状況でわかるのかが気になりますが、存在しないとなればもちろん収束しません。発散です。 できれば、そのような疑問を持つに至った具体的な問題例を示してくれませんか？
    有象無象の 極み (id: 2605) （2023年11月4日16:36）
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    最近数学の問題を作っていたのですが、そこで発散の証明について考えていました。 その問題は、 数列{Xn}をX1=a Xn+1=a^Xnが発散か収束するかについての問題です。 例えばa=√2の時、 数列Xnは単調増加でありXnは2よりも大きくならないという事を数学的帰納法で証明でき、2に収束することが予測できます。(一応作問としては大学受験を想定としているので、数列が広義単調増加かつ上界があれば収束すると言うことは知らない設定で。) では√3だったら、もしかして3になるんじゃない？という様な感じがします。 実際の問題ではまず√2ときにXnが2に収束することを示して、では√3ではどうですか？と問います。 そうすると、√2と同じように行うとあまり上手くいかないことが分かります。 ここでXnは単調増加であり、√2の時はXnが必ず2より小さいと2に収束しました。 となると数列が単調増加かつある値K(Kは実数)より小さければ(Kが上界であれば)、Kに収束するのでは？となります。(直感で考えれば当たり前ですけど) まず、これを証明します。 そして次に、実は√3においてはXn＜KとなるKは存在しないのでは？という考えになります。実際あると仮定して数学的帰納法で証明しようとすると矛盾が発生します。つまり√3についてはKが存在しない。つまり lim(n→∞)|Xn-K|=0となるようなKは存在しないから発散する… というふうに模範解答をある程度形作ったのですが、何せ問題を作った経験が全くない人なので、これが解答として正しいのが分からないのです…

    有象無象の 極み (id: 2605) （2023年11月4日16:44）
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    まだ高校生ですので、そういう厳密な数列の発散、収束についてはあまりよく分かってないので… 調べるべくε-N論法についての論文を読もうと頑張りましたが、あんまりよく分からなかったものですから…

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年11月4日19:09）
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    ご参考までに、見てみたらどうでしょうか。 https://itchyny.hatenablog.com/entry/20130317/1363484643

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