統計学の問題

統計検定２級の学習中です。 以下の問題について２つ質問があります。 １つ目 「したがって、Xj-XkはN（μj-μk,2）に従います」 とありますが、平均は差をとるのに、なぜ分散は足し合わせているのですか？理由がわかりません。 ２つ目 「まず、ｚ＝1.96√２の値を正規化すると」 なぜ、急にｚ＝1.96√２が登場したのですか？ √２はおそらく標準偏差を指しているのだろうと思いますが、 他はよくわかりませんでした。 よろしくお願いします。

回答いたします！ > １つ目「したがって、Xj-XkはN（μj-μk,2）に従います」 とありますが、平均は差をとるのに、なぜ分散は足し合わせているのですか？理由がわかりません。 回答： 以下の分散の性質が参考になると思います！ https://bellcurve.jp/statistics/course/18592.html?srsltid=AfmBOorsWlUOQi-eR71k8_yZLQL7hA6U4P5hB4-JRBOf3d1KIxyN_X7z 分散の性質は V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y] V[X-Y] = V[X] + V[Y] - 2Cov[X,Y] 一方期待値は線形性があるので以下のようになります！ E[X+Y] = E[X] + E[Y] E[X-Y] = E[X] - E[Y] 今回X_jとX_kの分散は V[X_j - X_k] = V[X_k] + V[X_j] - 2Cov[X_j,X_k] = V[X_k] + V[X_j] - 0　(互いに独立なので共分散は0になる) = V[X_k] + V[X_j] なので、答えのようにV[X_k] + V[X_j]というように足し算となります。 ちなみに正規分布に従う確率変数の結合がまた正規分布に従うことを再生性と言いますので、 この用語も覚えておくとどこかで役に立つかもしれないです。 > ２つ目 「まず、ｚ＝1.96√２の値を正規化すると」 なぜ、急にｚ＝1.96√２が登場したのですか？ √２はおそらく標準偏差を指しているのだろうと思いますが、 他はよくわかりませんでした。 回答： この1.96というのは、「標準正規分布表において上側2.5%点」のことを指していると思います。以下のサイトがイメージつきやすいと思います。 https://bellcurve.jp/statistics/course/8888.html?srsltid=AfmBOor1Ek5W7s2LnhKbze7FTtHoCNgOqwhNsBdtKzdmZ3W7iXz4XoJR この問題の意図としては、両側検定を考えて有意水準5%を設定したとした場合、 x_jとx_kが実際に得られたとして、実現値として|x_j - x_k|を計算したとします。 そのときに|x_j - x_k| > 1.96√2となった場合、「これは有意水準5%を超えるので、帰無仮説を棄却する」 というような検定を想定しているのだと思います。