高校数学で、整式の商についての証明問題で、入試問題です。自分の考えで問題ないかを教えてください。

問題文です。 ーーーーーーーーーーー f(x) = ax^2 + bx + c g(x) = dx + e (a,b,c,d,eは実数) nを整数とすると、常にf(n)/g(n)が整数になるとする。 この時、f(n)がg(n)で割り切れることを示せ。 ーーーーーーーーーーー 以下自分の回答です。 ーーーーーーーーーーー f(x) = g(x)(hx + i) (h, iは実数) と因数分解する。 f(x)/g(x) = hx + i だから、条件より、任意の整数nについて hn + i は整数。 n=1, n=2 についてもhn + iは整数だから、 h + i = k 2h + i = l (k, l は整数) となる。 これを解くと、 h = l - k i = 2k - l となり、h, i はともに整数であることが分かる。 また、 f(n) = g(n)(hn + i) (nは任意の整数) より、 f(x) - g(x)(hx + i) = 0 は二次関数でありながら3つ以上解を持つので恒等式である。 よって、任意のxについて f(x) = g(x)(hx + i) が成立する 以上から、 f(x) = g(x)(hx + i) (xは任意の実数、h,iは整数) が成り立つ。 証明終わり ーーーーーーーーーーーーー 論理の不備等や、無駄があるところがあれば教えてくださると助かります。

伊藤さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 あなたの質問文の7行目は「この時、f(n)がg(n)で割り切れることを示せ。」となっていますが、ひょっとしてf(x),g(x)ではないでしょうか？整式として割り切れることを証明するのでは？質問の際はできるだけ問題文のオリジナルを写真でアップしてくださいね。 さて、あなたの解答の１行目が、そもそもおかしくないでしょうか。 この式は、もうf(x)がg(x)で割り切れている状態ですね。でも、この事実をこれから証明しようとしているのです。１行目のように「因数分解する」といったって、できるかどうかわかっていませんよ。因数分解できるのなら証明は不要になってしまいます！ さらに、あなたの結論は、その冒頭の仮定そのものですから、残念ながら、やはり証明にはなってないですね。 これでどうでしょうか？ご意見を、コメント欄に書いてください。会話型を目指しています（笑）。いや、こういう意味でかいたんだ、とか説明の補足があったらそれも聞きたいです。よろしく。