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円周上の点と直線の最長、最小距離について
円周と直線(問題でいうPQ)の最小値についてですが、赤枠に書かれている条件を満たすときに距離が最小値となるのは当然のことだと思いますが、もしよろしければ、赤枠のことを理論的な説明？
や証明をおねがいします。
「この直線を円と接するように平行移動したら、確かに成り立つ」や「補助線や垂線を引っ張ってみると明らかにそう」などというのは思いついたのですが、これらは全て「視覚的にそうだよね」と示しているだけだと思います。僕的には三平方や三角比、ベクトルなどを使って数値や式的に成り立つことを示したいと思ったのですが、どうやれば示せるかわかりませんでした
回答
あか 青さん、こんにちは。
とりあえず、図形での証明を書きましたが、これじゃ満足しないのですね！！
どうしても、式の計算等でやりたいのですね！！
じゃ、ちょっと待ってくださいね。
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これでどう？
（２枚目の写真）
余弦定理、微分を使いました。
右の縦線はｘ＝ｄ
円はｘ²＋ｙ²＝ｒ²
直線上の点はP(d,t)としておます。
直線上の一般の点Pと円上の点Qを設定してPQ²の最小値を求めています、
２変数θ、ｔは無関係なので、まずθを動かし、そのあとｔを動かします。
なにかコメントで返信してくださいね。
回答ありがとうございます。どちらもまず、直線における点を固定してその後、点を動かすという二段階で解いているのですね。理解できました。ありがとうございます
確認で聞きたいのですが、https://d.kuku.lu/2psy3wkkm この写真の問題は今度は直線ではなく、ある点と円周上における点との直線の距離の最大、最小値を求めています。この時の最小値は回答者様が先ほどお示ししてくださったやり方で証明できると思いますが、最大値も同様なやり方で証明できますか？
その問題では点Aは固定されているので、まったく同じとは言えませんが、C以外の円周上の点をQとしたとき、常にAC>AQを示せばいいのです。∠CQA=∠CQB＋∠AQB=９０°＋∠AQB＞９０° これより△AQCは鈍角三角形で、鈍角の対辺が最大辺だからAC>ZQ。よってACが最大。