数学的帰納法による証明

1+2+2^2+…+2^n-1=2^n-1の証明の解説をお願いします。n=k+1のときの計算の流れがわかりません。

mmm Mi さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 では…数学的帰納法の第２ステップを書きますね。 (ii)　n=kのとき成り立っていると仮定する。すなわち $1+2^1+2^2+2^3+\cdots +2^{k-1}=2^k-1$ が成り立っている。 このとき、$1+2^1+2^2+2^3+\cdots +2^{k-1}+2^k$ $=2^k-1+2^k$ 　　　ここまでは大丈夫ですか？$1+2^1+2^2+2^3+\cdots +2^{k-1}$の部分を仮定より等しいはずの$2^k-1$に置き換えました。 　　　これで$2^k$　が２つになったので$2^k+2^k=2\cdot 2^k=2^{k+1}$ と書けますので、 $=2\cdot2^k-1=2^{k+1}-1$ よってn=k+1の時も成り立っている。 　　　ここまでが第2ステップですね。 　　　最後に結論を書きます。 (i)(ii)より、すべての自然数ｎについて $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{n-1}=2^n-1$ が成り立つことが証明されたのだ！！ どんなもんだ、数学的帰納法ってすごいだろ！！ 　　　で終わりますよ。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。会話型を目指しています(笑)。コメントがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしくお願いしますね。