累乗根

この問題の解き方を１から教えて欲しいです 解答には答えしかありませんでした

Shikiさん、こんばんは。 １から、ですか？どこが１なのかわからないのですが、なるべくていねいに回答しますね。 普通の平方根のルートのときは、ルートの中に素因数が２個あると、１個になって外に出せるのはいいですか？ たとえば $\sqrt{24}=\sqrt{2\cdot2\cdot2\cdot3}=\sqrt{(2\cdot2)\cdot2\cdot3}=2\sqrt{2\cdot3}=2\sqrt{6}$ ３乗根の場合は３個同じものがあると１個になって外に出ます。 例えば $\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3}=\sqrt[3]{(2\cdot2\cdot2)\cdot3}=2\sqrt[3]{3}$ (i)の最初のやつは $\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot2}=\sqrt[3]{(2\cdot2\cdot2)\cdot2}=2\sqrt[3]{2}$ になります。 後ろのやつは、分母が $\sqrt[3]{2\cdot2}$ なので、根号の中にもう一個２があればうまくいくので、 分母に $\sqrt[3]{2}$ をかけてやりますが、分母だけでは値が違ってしまうので、必ず分子にも同じものをかけますよ。 $\dfrac{8}{\sqrt[3]{2\cdot2}}$ $=\dfrac{8\times\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2\cdot2}\times\sqrt[3]{2}}$ $=\dfrac{8\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2}}$ $=\dfrac{8\sqrt[3]{2}}{2}=4\sqrt[3]{2}$ になります。だから前のやつから後ろのやつを引くと $2\sqrt[3]{2}-4\sqrt[3]{2}=-2\sqrt[3]{2}$ というわけですが、大丈夫でしょうか？ (ii)は分母の有理化のテクニックを知らないとできないので、覚えましょう。 平方根のときの分母の有理化は $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を利用して、ａやｂがルート何とかのときには２乗されるから普通の数になれました。 ３乗根の時は $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ や $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ を利用して、ａやｂが３乗根の時は３乗すれば普通の数にすることができます。 いまの問題では分母が $\sqrt[3]{2}-1$ なので、上の公式の２番目を利用するために分母に $(a^2+ab+b^2)$にあたるものをかけます。もちろん分子にもかけることになりますよ。 $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}-1}=\dfrac{1\times\Big((\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}+1\Big)}{(\sqrt[3]{2}-1)\times\Big((\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}+1\Big)}$ $=\dfrac{(\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}+1}{(\sqrt[3]{2})^3-1^3}$ $=\dfrac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1}$ $=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$ となります。 気を付けるのは$(\sqrt[3]{2})^2=\sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{2}$ $=\sqrt[3]{2\times2}=\sqrt[3]{4}$ となるところ。 さて、これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。よろしく。