級数　収束

a_n = 1/(n*logn) (nは2以上の自然数) とおく、この時のanの無限級数の収束性を調べる。 (1)f(n)=anとおくとf(x)は単調減少で常に正(x >=2)この時、オイルーマクローリンの判定法より(∫[2->∞]f(x) dx = {log(logx)}[2->R] -> ∞)anの無限級数は発散。 (2)anは正項行列で1/(n*logn) > 1/((n+1)*log(n+1))よって1>a_{n+1}/a_n>0 なのでダランベールの判定法よりanの無限級数は収束する。 このように結果が変わっているのですが、どうしても結果が異なるのかがわかりません。その部分について教えていただけると幸いです。自分は(2)の1と0で挟んだところが怪しい気がしますがなぜ間違えているのかはわかりませんでした。