運動方程式の積分に関する質問

置換による計算過程が分かりません。よろしくお願いします。

$ T=2\sqrt{\dfrac{l}{g}} \displaystyle \int_{0}^{\phi_0} \dfrac{d\phi}{\sqrt{\sin^2{\dfrac{\phi_0}{2}} - \sin^2{\dfrac{\phi}{2}}}} \dots$ ① $\sin \dfrac{\phi}{2} = k_0 \sin \xi $　$ \Bigl(k_0=\sin \dfrac{\phi_0}{2} \Bigr) \dots$ ②　と置く。 ②を微分して 　$\dfrac{1}{2} \cos{\dfrac{\phi}{2}} d\phi = k_0 \cos{\xi} d\xi$ 　$d \phi = \dfrac{2k_0 \cos{\xi}}{\cos{\dfrac{\phi}{2}}} d\xi$ 　　　$= \dfrac{2k_0 \cos{\xi}}{\sqrt{1- \sin^2{\dfrac{\phi}{2}}}} d\xi$ 　　　$= \dfrac{2k_0 \cos{\xi}}{\sqrt{1- k_0^2 \sin^2{\xi}}} d\xi \dots$ ③ また②より 　$\phi$： $0 \rightarrow \phi_0$　のとき　$\xi$：$0 \rightarrow \dfrac{\pi}{2}$ よって①に②③を代入すると 　$ T=2\sqrt{\dfrac{l}{g}} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\sqrt{k_0^2 - k_0^2 \sin^2{\xi}}} \cdot \dfrac{2k_0 \cos{\xi}}{\sqrt{1- k_0^2 \sin^2{\xi}}} d\xi $ 　　$=2\sqrt{\dfrac{l}{g}} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{k_0\cos{\xi}} \cdot \dfrac{2k_0 \cos{\xi}}{\sqrt{1- k_0^2 \sin^2{\xi}}} d\xi $ 　　$=4\sqrt{\dfrac{l}{g}} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{d\xi}{\sqrt{1- k_0^2 \sin^2{\xi}}} $ ここで 　$K(k) = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{d\xi}{\sqrt{1- k^2 \sin^2{\xi}}} $ と置くと 　$T=4\sqrt{\dfrac{l}{g}} K(k_0)$ 　　$=4\sqrt{\dfrac{l}{g}} K\left(\sin{\dfrac{\phi_0}{2}}\right)$