はさみうち、関数の連続について

こんにちは。1番の問題の解説で、なぜSinに絶対値がつくのか教えていただけますでしょうか。

eriさん、こんばんは。 絶対値、つけなくてもできます。ただ、微妙に面倒なのです。 $-1 \leqq \sin \dfrac{1}{x} \leqq 1$ より $-x\leqq x\sin\dfrac{1}{x} \leqq x $ とやりたいところなんですが、ｘが正の場合にはいいですが、負の場合には $x\leqq x\sin\dfrac{1}{x} \leqq -x $ と書かねばならず、極限もx→＋０とx→ー０に分けて書かなければなりません。 もちろん、それが大した手間ではないと考えるなら、絶対値を付けて議論しなくたってOKです。 でも、絶対値をつけてやると、証明がスマートになります。 数学的には「美しい」ということになります。 これで大丈夫ですか？分かったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。よろしく。