三角比の拡張

90°+θの三角比についてです。 sin(90°-θ)=cosθは、 あー！そういうこと！となんとなくの想像はできるのですが、 sin(90°+θ)=cosθ となるのが納得いきません。教えてほしいです!特に cos(90°+sinθ)=-sinθになるのは なぜですか？sinθってマイナスになるのですか？？ 長々とすみません。教えて頂けると助かります。。

みさきさん、こんにちは。 あ、sinθがマイナスのなったのではないです。sinθはプラスの値で、それにマイナスをつけています。 鈍角になるとcosθの値がマイナスになります。説明は下を読んでください。長いですが…。 三角比を拡張して、角が何度でもよくなるときに、つまづく人が多いですので、乗り越えてください！ 最大の難関は「サイン、コサインの定義が変わった」というところなんです。 直角三角形の斜辺や底辺、高さなんかを使って三角比を定義してきましたが、ここからは定義が変わります。 教科書にもあるはずですが、原点を中心に半径ｒの円を描き、その周上の点Pを決めると、∠POｘが決まります。これをθとし、またPのｘ座標がｘ、y座標がｙとしたとき、 「$\sin \theta=\dfrac{y}{r},\cos\theta=\dfrac{x}{r}$ とするよ」って決め直したのです。 θが鋭角の時は、これまでの三角比と同じように斜辺や低へ、高さでも行けますが、θが鈍角の時は、もう直角三角形では考えられません。あくまでもこの定義でサイン、コサインの値を決めていきます。 半径の大きさは何でも大丈夫なので、特にｒ＝１の円（単位円）で考えるのがいいのです。この時はPのy座標が $\sin\theta=\dfrac{y}{1}=y$ になってるし、ｘ座標が $\cos\theta=\dfrac{x}{1}=x$ になっています。 ９０°ーθの公式は、下の図１さえ書けばわかります。θが小さい角の時の図ですが、大きくなっても関係は同じです。 図の青い線どおし、赤い線どおしは長さが同じです。$P_2$ のｙ座標は $P_1$ のｘ座標と同じです。 $P_2$ のｙ座標は$ \sin(90^{\circ}-\theta)$だし、 $P_1$ のｘ座標は $\cos\theta$ なので（青い線です）、 $\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta$ ですね。 $P_2$ のｘ座標は $P_1$ のｙ座標と同じです。（赤い線です） $P_2$ のｘ座標は $\cos\theta$だし、 $P_1$ のy座標は $\sin\theta$ なので、 $\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta$ ですね。 これで、覚えていなくても2つの公式 $\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta$ $\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta$ は、図を書けば出てきます。 同じように、９０°＋θも図さえかければ納得できるし、覚えなくても大丈夫です。 図２の $P_2$ が９０°＋θの位置です。 前と同じように、青い線どおし、赤い線どおしは同じ長さです。 ただし、気を付けるのは９０°＋θのほうの青い線はｘ軸の負の側に来ているので、マイナスの量になります。 $\sin(90^{\circ}+\theta)=\cos\theta$ 赤い線は等しい！ $\cos(90^{\circ}+\theta)=-\sin\theta$ 　青い線は長さは等しいけれど、$\cos(90^{\circ}+\theta)$は$\sin\theta$ にマイナスをつけますよ！ これも、公式を覚えなくてもこの図を書けば出てきます。線の長さが同じでも、符号がどうなのかだけ気にしてください。 こんな図を書けば、１８０°ーθの公式も覚えずに図3で行けます。 $\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta$ $\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$ 三角比は、鈍角になると、鈍角を表す点Ｐのｘ座標が負になるので、コサインの値はマイナスになります。ｙ座標は相変わらずプラスです。 サインが正、コサインが負だったら、その角は鈍角です。 もっと拡張して、θが１８０°を超えたり、マイナスの角になったりします。そこでもたくさんの公式がでてきますが、やはり、図を書けば覚えなくても大丈夫です。単位円の図を書く癖をつけましょう。 長かったけれど、これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。よろしく。