因数分解、素因数分解

先日あった期末テストの問題です。 中学二年生です。一番最後の配点一点の100点阻止問題なのでヒントも書いてありました。 (1)は素因数分解 (3)は因数分解利用 とヒントが書いてありました。 ほとんど何もわかりませんでした。 (1)は138=6×23で115=5×23でどっちも23出てきたからなんか関係あるの？くらいです。 (3)は3/4×8/9×15/16…みたいになって分子と分母それぞれの数字の増えかたには決まりがあるなぁとか思っただけです。 ちなみに自分が考えただけでここまですらあってるかわかりません。 わかるかたいらっしゃったら是非教えてほしいです！

早苗さん、こんばんは。初めてでしたっけ？違うかな？ １００点を阻止するんですか？そりゃぁ意地悪な先生だなぁ。 （１）は$22\times138$は素因数分解して$2^2\cdot3\cdot11\cdot23$だし、$26\times115=2\cdot5\cdot13\cdot23$ なので 共通因数は$2\cdot23$ なので、これをくくりだして $22\times138-26\times115=2\cdot23(2\cdot3\cdot11-5\cdot13)$ $=46(66-65)=46$ と計算ができますね。 （3）ですが、中学２年ですが因数分解を習っているのですね。 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ を学習済みなのですね。 それなら$1-\dfrac{1}{2^2}=1^2-\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2=\Big(1-\dfrac{1}{2}\Big)\Big(1+\dfrac{1}{2}\Big)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}$ は大丈夫ですか？わざと$(a-b)(a+b)$ の順に変えています。その方があとが楽なので。 $1-\dfrac{1}{3^2}=1^2-\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^2=\Big(1-\dfrac{1}{3}\Big)\Big(1+\dfrac{1}{3}\Big)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{3}$ これで、前の$\dfrac{3}{2}$ と、この $\dfrac{2}{3}$ をかけて１になってしまいます。 $1-\dfrac{1}{4^2}$ からは $\cdot\dfrac{3}{4}$ がでてきて、まえの$\dfrac{4}{3}$にかけて１になります。 こんな感じで、ずら～っと１ができて、初めの $\dfrac{1}{2}$ と最後の $\dfrac{21}{20}$ だけが残ります。 よって答は $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{21}{20}=\dfrac{21}{40}$ これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。会話型を目指しています（笑）。コメントがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしくお願いしますね。