部分積分について

丸をつけているところの、 インテグラルの外に2がついているところから、次の行で2が消えている理由がわかりません、、教えていただけますでしょうか。

(logx)^2を微分すると 2 logx (logx)’ になりますね(合成関数の微分) これを並び替えると 2 (logx)’ logx になります。 あなたは (logx)’しか丸で囲っていませんが、 左の2と右のlogxも含めて一塊なんですよ。

eriさん、こんにちは。 この部分は、部分積分ではなく、置換積分ですね。 小林さんの解答でもうわかったかとはおもいますが、この部分は置換積分の公式 $\int f(g(x))g'(x)dx$ では、g(x)=tと置くと $g'(x)dx=dt$ なので、 $\int f(t)dt$ になり、$=F(t)$ となります。 この問題では、$t=g(x)=\log x,f(t)=t$ で、$g'(x)=\dfrac{1}{x}$ ですね。 $\int_{\alpha}^{4\alpha}\dfrac{2\log x}{x}dx$ $\log x=t$ と置くと、$\alpha \rightarrow \log\alpha,4\alpha \rightarrow \log 4\alpha,\dfrac{dx}{x}=dt$ なので $=\int _{\log \alpha}^{\log 4\alpha} 2t dt$ $=\left[t^2\right]_{\log \alpha}^{\log 4\alpha}$ のほうが素直な気がします。 確かに$\dfrac{2\log x}{x}$ をみて、 $=2\log x\cdot \dfrac{1}{x}=2\log x\cdot (\log x)'=\{(\log x)^2\}'$ まで気が付けば、一気にシャーペンの芯の１ｃｍくらい先の丸が付いた式にはなりますが。 ご参考までに。なにかあったらコメント欄に書いてください。