三角関数の導関数について

分からないことーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー (sinx)' = cosx　であることから、(cosx)' = -sinxであることを導けるのか分からなくて困っています。 自分が考えたことーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー sin(π/2 + x) = cosx, sin(π/2 - x) = cosxであることを使って(sinx)' = cosxから(cosx)' = -sinxであることを導けるのではないかと考えたのですが、 {sin(π/2 + x)}' = cos(π/2 + x) = -sinx　--① {sin(π/2 - x)}' = cos(π/2 - x) = sinx --② となり、①の場合はうまくいきましたが、②の場合はうまくいきませんでした。これは②の場合は導けないということなのでしょうか？そうであるならば、なぜ(cosx)' = -sinxである場合のみを採用した導関数の公式となっているのでしょうか。ご回答お願い致します。

Beat Popさん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 三角関数の微分ですから、数Ⅲですね。では、合成関数の微分も終わっていますね。 $\{\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)\}'$ は $y=\sin t$ と $t=\dfrac{\pi}{2}-x$ の合成関数です。 だから、微分した時には、サインを微分してコサイン、さらに $\dfrac{\pi}{2}-x$ をｘで微分してー１が出てきます。 だからちゃんと $-\sin x$ になりますので、安心してください！ これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。会話型を目指しています（笑）。コメントがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらでは わからないのです。コメント、よろしく。