部分分数に分解するときに出てきた疑問

Beat Pop (id: 2750) （2023年12月17日23:29）

$\dfrac{1}{x^2(x - 1)}$を分母が$x^2, x - 1$の分数式に分解すると、$\dfrac{1}{x^2(x - 1)} = \dfrac{ax + b}{x^2}+\dfrac{c}{x-1}$と表されるようです。参考書には『$x^2$は2次式なので分子は1次式以下の整式となるのでこういった形で表せる』と書いてありました。『』の部分がなぜ成り立つのか分かりやすく教えていただけると幸いです。

回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年12月18日9:50）

Beat Popさん、こんにちは。え～と、部分分数分解っていうのは、分母が積になっている分数を、それぞれが分母になっている分数の和に変形したいぞ！という「願い」から始めるものなので、『こういった形で表わせる』はずだ、というだけなんです。分母が２次で、分子が２次以上ならそれはもっと分解できるからです。 $\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2}$ という形にしてもあまり意味はなく、 $=a+\dfrac{bx+c}{x^2}$ と変形できるから。ですから、部分分数分解を「分母がｘ²の分数と分母がｘ－１の分数に分けよう！」と願ったら、ｘ²の分子は１次式にしておくべきでしょう。問題全体がアップされていないので、はっきりは言えませんが、積分か何かで部分分数分解をするなら、分母がｘ²とｘ－１でもいいことがありますが、普通は部分分数分解と言ったら $\dfrac{1}{x^2(x-1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x-1}$ のように、分子はすべて定数にしてしまうことが多いです。分子が全部定数になるように願って分解するのです。願って分子を未定の定数a,b,cと置いて、このあとそれを求めて、「やったぁ！できるじゃん！」となるのです。あなたの疑問にうまく答えられたか心配ですが、これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。

Beat Pop (id: 2750) （2023年12月18日11:12）

くさぼうぼうさん、ご回答して頂きありがとうございます。くさぼうぼうさんの回答を自分のなかでうまく処理できているか不安です。以下の----で囲まれた考えで合っているでしょうか？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- そもそも分子の次数が分母以上である場合、〇+(🔲/△)　--①のような形に前もって変形することができ (例えば、2x^3/(x^2-1)=2x+2x/(x^2-1))、積分することを考えるうえで、部分分数に分解するのは積分しやすい形にするためなので、①のように変形せずに定数をおいたとしても、結局①のような形に変形することができ、①の〇の部分となるところに対してわざわざ定数をおいて考える必要はない。また、分子の次数が分母より小さい場合、部分分数に分解したときも、分母の次数以上になることはありえない。よって、私の質問上の『』の内容は1/{x^2(x-1)}の場合(つまり、分子の次数が分母より小さい場合)のことを示しており、言っていることは正しいといえる。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年12月18日15:27）

はい。それで大丈夫です。積分の時は2次分の1次でもいいですが、数列の問題なんかでも部分分数分解を使うときがあり、この時は完全にばらばらにした方が見通しが良いことが多いです。適材適所？

Beat Pop (id: 2750) （2023年12月18日16:09）

くさぼうぼうさん、返信ありがとうございます。くさぼうぼうさんの回答を自分の中でうまく消化できていたようでよかったです。お察しの通り、この質問は不定積分の問題を解いているときに頭に浮かんだ疑問なのですが、部分分数の内容が主だと思ったので、部分分数の質問として送信させてもらいました。しかし、改めて読み返してみると「積分を考える上で」という背景が強い内容だと思ったので、タグやタイトルを積分と関連のある質問だとわかるように編集しておきます。くさぼうぼうさんのおっしゃるように、完全にばらばらにした形の方がメジャーな解法として載っていることが多く、解法の見通しが立てやすいと感じます。今回ばらばらでない形のほうで質問した理由は2つあります。1つ目は、ばらばらでない形を形A, ばらばらの形を形Bと省略して説明しますと、形Aを変形すれば形Bになるので、形Aで質問上のように表せられることが分かれば、形Bで表せられるということが分かるからです。2つ目は、今回の質問では分母と分子の次数に着目した議論に展開させたかったからです。くさぼうぼうさんの丁寧な解説のおかげで部分分数分解を利用して解く積分の問題を論理的に学習することができました。改めてありがとうございました。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年12月18日16:49）

どういたしまして。お役に立てたならよかったです。またどうぞ！

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