定積分と不等式の証明の問題について

くさぼうぼうさん、ご回答ありがとうございます。お聞きしたいことが2つあります。1つ目はくさぼうぼうさんの回答中の「なぜなら、初めの不等式は～」のところの「初めの不等式」というのはどれのことなのかということです。2つ目はくさぼうぼうさんの回答中に「区間[０、π/2]では等号が成り立つのはx=0,π/2のときだけで、その"他の値の時"は2/π < sinx < xであるので」とありますが、0≦x≦π/2の区間で積分するのに、なぜその"他の値の時"ということになるのか分からなかったので、そこの部分を詳しくお聞きしたいです。ご回答よろしくお願いします。

上の回答に追記したので読んでください。

くさぼうぼうさん、返信ありがとうございます。なぜ積分するにあたって等号無しの不等号になるのかがまだ理解できないでいます。0≦x≦π/2がいつも等号が成り立つわけでなく、x = 0, π/2のときのみ成り立つということは理解できていて、その他の値では 2x/π<sinx<xであることも理解できています。しかし、この問題を解くうえで出てきた0<x<π/2という区間と0≦x≦π/2という区間がそれぞれどんなことを示していて、どういう関係を持っているのかが分からないのですが、ここの部分を詳しく教えていただけると幸いです。ご回答よろしくお願い致します。

はい、積分は0≦x≦π/2の区間で行いますよ。その間、左辺、中辺、右辺は両端でこそ値は同じですが、それ以外では被積分関数は等号はなくて”＜”が成り立ちます。図形的な説明としては、3つの被積分関数は範囲の両端では同じ点（０，１）と（π/2、ｅ）なのですが、あいだでは左辺の関数のグラフが一番下に来て、右辺の関数のグラフが一番上。中辺の関数のグラフがその間に来ます。定績分はグラフとⅹ軸との間の面積と解釈できますから、このようなグラフの上下関係では面積が等しくなることはありません。それが「定積分にすると等号がなくなる」ということなんです。 これでどうでしょうか？イメージがわきますか？

くさぼうぼうさん、ご返信ありがとうございます。イメージがわきました。上の質問のところに新たに添付したイメージで合っているでしょうか？質問上に載せた解答を自分なりに整理しますと、質問上に載せた解答の最初から①の部分(「2/π < sinx < xにおいて～e^(2/π)<e^(sinx)<e^x　・・・①」の部分)・・・＊は今回の被積分関数は今私にわいてきたイメージのようになりますよということを示していて（具体的に言うと、x=0, π/2で両端がぴったりくっついていて、その間は関数によって大中小のように分かれている）、この問題のゴールである不等号の証明を行うために実際に定積分を行うとなったときに、＊の部分で確認したようなイメージになっているために、等号をなくして定積分する。 ということで合ってますかね？