2次曲線の接線の方程式の証明

添付した画像上の3つの2次曲線の接線の方程式がなぜそうなるのかが分かりません。判別式などを利用するのかなと考えましたが、ちょっと行き詰まってしまいました。どういった糸口をつかんで証明するのですか？3つの方程式の証明をそれぞれ分かりやすく説明してくださるとありがたいです。

Beat Popさん、こんばんは。 申し訳ないですが、さすがにこれ全部をここで書いていくのは大変なんです。 WEBのページを紹介しますので、持てください。 数Ⅲの陰関数の微分を終わっているのなら、このページが手っ取り早いかと思います。 （リンクはついていないので、コピーして、プラウザで見てください。 https://mathtext.info/blog/2022/01/30/2jikyokusentosessen/ 数Ⅱまでなら、次のページがいいでしょう。数Ⅱまでの知識で証明しています。 https://hiraocafe.com/note/quadratic-curve-tangent.html Youtubeでも、２次曲線の接線で検索すればいくつもヒットすると思います。 あとは、教科書を買うことですね。教科書ならその公式を導く過程もあるはずです。大きい本屋さんでは教科書を扱っていますよ。 私は、たまにメルカリで買います。安くていいですよ。多少の汚れは目をつむってね。 じゃ、これでカンベンしてください。 あ、そのページを見て、ここがわからないというような質問なら受けます。その時は場所を詳しく教えてくださいね。あるいはスクリーンショットをとってアップしてください。