【質問】数学２　等式の証明

x/(2y+z) = y/(2z+x) = z/(2x+y) のとき、この式の値とその時の実数　ｘ、ｙ、ｚの条件を求めなさいと いう問題になります。 解説には、 x=(2y+z)k y=(2z+x)k z=(2x+y)k 上記3式を足し合わせて整理すると、(3k-1)(x+y+z)=0　よって、 3k-1=0　又は、x+y+z=0 ここまでは理解出来ましたが、 x+y+z=0　のとき　x=y=z=0 これは、与式の分母が0になり不適。 よって、k=1/3 x+y+z≠0　 と記載されています。 上記解説の中で、x+y+z=0　のとき　x=y=z=0 これは、与式の分母が0になり不適。 この部分が理解出来ません。 教えて頂ければ幸いです。

いろいろやり方あるかもしれませんが、、、 　$z=-x-y$ と変形して、これを元の式に代入して $z$を消す。 　$\dfrac{x}{2y+(-x-y)}=\dfrac{-x-y}{2x+y}$ 整理して 　$x^2+xy+y^2=0$ 同様にして 　$y^2+yz+z^2=0$ 　$z^2+zx+x^2=0$ これらを足すと 　$2(x^2+y^2+z^2)+(xy+yz+zx)=0 \dots$ ① 一方、 　$(x+y+z)^2$ 　$=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) =0 \dots$ ② ①×2-②より 　$3(x^2+y^2+z^2)=0$ ∴　$x^2+y^2+z^2=0 \dots$ ③ $x, y, z$ は実数だから $x^2≧0, y^2≧0, z^2≧0$ よって③を満たす $x, y, z$ は 　$x=y=z=0$