二次関数

この問題で、この写真のところまで考えたのですが、解き方がわかりませんでした。 解説を見ると、写真の一番下に載っているものが書いてあったのですが、なぜこれが全ての実数tに対して成り立つ条件となるのかがわかりません。 もしわかったら、解説してくれると嬉しいです。

Yukoさん、こんにちは。 いろいろな説明ができますが… まずは、関数から離れた立場で説明しますね。 $3(t-\dfrac{1}{3}a)^2$ と$-\dfrac{1}{3}a^2-2a-b$ の2つの部分に分けて考えると、前者は３×（実数の2乗）で、実数の2乗は0以上ですから、前者はｔの値にかかわらず（すべてのtの値で）０以上であることはわかります。あとは後者も０以上であれば前者＋後者は０以上になります。後者はｔとは無関係な数ですから、a,bの値によって０以下だったりいろいろな値を取れます。でも後者が０以上の定数なら、前者と合わせてどんなｔの値に対しても０以上になるので、後者≧０が、すべてのtの値でその不等式が成り立つ条件になります。ちょっと面倒ですが、わかりますか？ 2次関数のところの問題らしいので、２次関数で説明します。 $3t^2-2at-2a-b$ を2次関数 $y=3t^2-2at-2a-b=3(t-\dfrac{1}{3}a)^2-\dfrac{1}{3}a^2-2a-b$ と考えます。もうf(x)やg(x)は関係なくなりますので忘れましょう。ただ単にこの2次関数がすべてのｔの値でｙが0以上になるようにしたいのです。 このグラフは下に凸のグラフですね。このグラフがいたるところでｙ（y座標）が０以上でありたいのです。問題になるところはどこでしょう？そう、グラフの頂点です。頂点さえｘ軸より上またはⅹ軸上にあれば、グラフ全体はｘ軸より上になり、ｙ（y座標）すなわち$3t^2-2at-2a-b$の値は0以上になります。で、頂点がわかるように平方完成しました。頂点のｙ座標は$-\dfrac{1}{3}a^2-2a-b$です。これが0以上であればいいのですね。よって $-\dfrac{1}{3}a^2-2a-b\geqq0$ が条件になります。 つまり、「頂点のy座標≧０」という意味になります。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。