解と係数の関係

初歩的な質問でごめんなさい。この問題の解法2についてこの場合、α>1,β>1より (α-1)(β-1)>0としていてこの変形はわかるのですが、αβ>1としてはいけないのですか？なんとなくいい気がしてしまいます。

ちーさん、こんにちは。 いや、初歩的な問題ではないですよ。多くの人が引っかかる点をちーさんも引っかかっています。 この間違いはとっても多いです。 「a,bともに１より大きい」というよりも「a-1,b-1はともに正」というほうが数学では扱いやすいのです。 １よりも大きい小さい、より、正か負かのほうがはっきりするのです。 さて、$\alpha \beta >1$ では両方とも１より大きいことは示せません。 「α、βともに1よりおおきいならば、積αβ＞１」 は正しいけれども、 「αβ＞１ならばα、βともに1よりおおきい」 というのは正しくありません。 たとえば、$\alpha=0.3,\beta=6$ は、解答の②も満たし、αβ＞１も満たします。でも「α、βともに1よりおおきい」ではないですね。 そういうわけで、αβ＞１だけでは両方とも１より大きいという意味はありません。よって「ダメです」。 これで大丈夫ですか？いつものように、コメント欄になにか返事を書いてください。