limの性質

写真の下の方にあるlimの変換についてです f(X)とg(x)は何を表しているのでしょうか 上の方はf(a＋h)ーf(a)をひとかたまりとして分けていて分からなくなってしまいました

しみ　りつ　さん、こんにちは。 「下のほう」からいきますよ。 g(x)が出てくるのって、写真の一番最後ですよね。 ここは、初めの式は「任意の関数f(x)について、k倍したものの極限は極限のk倍と同じです」と言っています。 次の式は「任意の2つの関数f(x),g(x)について、（それぞれが有限の極限値を持つときは）関数を足したものの極限は、それぞれの極限の和と同じです」と言っているのです。f(x)のほうは「ある勝手な関数」というような意味ですし、g(x)はf(x)にたいしてもう一つ別の、というくらいの意味で使っただけですよ。これで大丈夫かな？ 「上のほう」は、質問のポイントがはっきりせず答えにくいのですが…。 写真に見えていない1行上の式の分子はたぶん $f(a+h)-f(a-2h)$ ではないでしょうか。このままでは微分係数の定義式ではないので、それを無理やり作るために $-f(a)+f(a)$ というものを間にむりやり突っ込んでいます。これはもうテクニックなので数学的な理由はないです。 これをやったおかげで、微分係数の定義の式の分子 $f(a+\square)-f(a)$ が２つ作れます。 $\{f(a+h)-f(a)\}-\{f(a-2h)-f(a)\}$ つまり $\{f(a+h)-f(a)\}-\{f(a+(-2h))-f(a)\}$ となります。 ここで中カッコごとに２つの分数にわけます。 このように分けられることが疑問点なのですか？それなら別に説明しますので、リクエストしてください。 ここで、「下のほう」あった式の後ろのやつが使えます。２つの和の極限は、それぞれの、極限の和になるので、リミットを分けました。 これが上から2行目です。 ところが、後ろの方の極限の式が微分係数の定義の式にあっていません。 定義式は $f'(a)=\lim_{\square \to 0}\dfrac{f(a+\square)-f(a)}{\square}$ です。□の部分は同じにならないといけません。 そこで、－２を無理やりつけて、分母をー２ｈにしました。この辺の細かい計算もやっかいですね。 ほんとうならｈ→０のところもー２ｈ→０と書くべきところです。ｈ→０のときー２ｈ→０なのでその解答では略しているようですが。 ここでｈやー２ｈを□にしてしまえば、どちらも微分係数f’(a)の定義の式になっています。 というわけなのですが、これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。