(2)の求め方が分かりません。

Tnが([n/m]の取りうる値の個数)-1であることがわかるんですけど(2)へのつなぎ方が分かりません。 T50は13です。 追記 0から1の間をn個で分割した数直線を考え、TnとT(n+1)やTnとT2nの関係性を見出そうとしたのですが、上手く行きませんでした

$T_{50}$ を求める際、実際に $[n/m]$ を計算されたと思います。ここで、気付くべきことは、$m$ が小さい間は、$[n/m]$ は大きく変化し、$m$ がある程度大きくなると、$[n/m]$ は $0$ か $1$ しか変化しないということです(イメージは反比例のグラフ)。大きく変化する部分と変化が少ない部分を分けて考察することが $(2)$ を解く上でのポイントです。 上記を踏まえた上で、$T_n$ を $n$ の式で表すことを目指します。$m$ が $n/m-n/(m+1) \lt 1$ を動くとき、$[n/m]$ は $2$ 以上変化しません。この不等式を $m$ について解くと、$(-1+\sqrt{1+4n})/2 \lt m$ が得られます。以下、$\alpha=(-1+\sqrt{1+4n})/2$ とします。この範囲で $[n/m]$ が取りうる値の個数は、$[n/m]$ の最大値にのみ着目すればよいため $[n/([\alpha]+1)]+1$ 個と分かります。一方、$m$ が $m \leqq \alpha$ を動くとき、$[n/m]$ が取る値は全て異なるため、その個数は $[\alpha]-1$ 個と分かります。よって $T_n=[n/([\alpha]+1)]+[\alpha]$ です。 $T_n$ を $n$ の式で表すことができたので、極限を求めます。しかし、ガウス記号が極限計算を妨げているため、うまくガウス記号を含まない式の極限計算に帰着させる工夫が必要です。ここで、$\alpha-1 \lt [\alpha] \leq \alpha \lt [\alpha] + 1$ より、$n/(\alpha+1)-1 + \alpha-1 \lt T_n \lt n/\alpha + \alpha$ です。あとは、はさみうちの原理を用いることで、$(2)$ の極限を求めることができます。