このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。

数Ⅰ 放物線 接戦

    yu mi (id: 418) （2021年11月3日17:41）
    0 0
    y＝x²－x－2に傾きがmで点(2,－1)を通る直線が接する時、mを2つ答えなさい。 ↑この問題の求め方を教えて欲しいです🙇‍♀️
    y＝x²－x－2に傾きがmで点(2,－1)を通る直線が接する時、mを2つ答えなさい。

    ↑この問題の求め方を教えて欲しいです🙇‍♀️

    回答

    imka ury (id: 260) （2021年11月3日22:21）
    0 0
    画像を貼ります。図を見てください。 以下のように、放物線を $C$、直線を $\ell$ とします。 傾き $m$ 、点 $(2,-1)$ を通る直線は②式のように表せます。 $\Biggl\{ \begin{array}{l} C: \,\, y=x^2 -x -2 \,\, \dots ①\\ \ell : \,\,\,\, y=m(x-2) -1 \,\, \dots ② \end{array} $ 「$C$ と $\ell$ が接する」 ⇒「①=②の方程式の解が重解をもつ」 ということです。 なぜなら、$C$ と $\ell$ の共有点が接点の 1つだけだからです。 ①=②として方程式をたてます。 　$x^2-x-2=m(x-2)-1$ 整理して 　$x^2 - (m+1)x + 2m -1=0$ これが重解をもつ条件は、判別式 $D=0$ です。 　$D=(m+1)^2 -4(2m-1)=0$ 整理して因数分解します。 　$m^2-6m-5=0$ 　$(m-5)(m-1)=0$ ∴$m=5, \, m=1$
    画像を貼ります。図を見てください。

    以下のように、放物線を CC、直線を ℓ\ell とします。
    傾き mm 、点 (2,−1)(2,-1) を通る直線は②式のように表せます。
    {C:  y=x2−x−2  …①ℓ:    y=m(x−2)−1  …②\Biggl\{ \begin{array}{l} C: \,\, y=x^2 -x -2 \,\, \dots ①\\ \ell : \,\,\,\, y=m(x-2) -1 \,\, \dots ② \end{array}

    「CC と ℓ\ell が接する」
    ⇒「①=②の方程式の解が重解をもつ」
    ということです。
    なぜなら、CC と ℓ\ell の共有点が接点の 1つだけだからです。

    ①=②として方程式をたてます。
    　x2−x−2=m(x−2)−1x^2-x-2=m(x-2)-1
    整理して
    　x2−(m+1)x+2m−1=0x^2 - (m+1)x + 2m -1=0

    これが重解をもつ条件は、判別式 D=0D=0 です。
    　D=(m+1)2−4(2m−1)=0D=(m+1)^2 -4(2m-1)=0
    整理して因数分解します。
    　m2−6m−5=0m^2-6m-5=0
    　(m−5)(m−1)=0(m-5)(m-1)=0
    ∴m=5, m=1m=5, \, m=1

    740536D3-457D-4D5E-A08E-948F1907EE09.jpeg

    回答する