このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。
数Ⅰ 放物線 接戦
y＝x²－x－2に傾きがmで点(2,－1)を通る直線が接する時、mを2つ答えなさい。
↑この問題の求め方を教えて欲しいです🙇♀️
回答
画像を貼ります。図を見てください。
以下のように、放物線を $C$、直線を $\ell$ とします。
傾き $m$ 、点 $(2,-1)$ を通る直線は②式のように表せます。
$\Biggl\{
\begin{array}{l}
C: \,\, y=x^2 -x -2 \,\, \dots ①\\
\ell : \,\,\,\, y=m(x-2) -1 \,\, \dots ②
\end{array}
$
「$C$ と $\ell$ が接する」
⇒「①=②の方程式の解が重解をもつ」
ということです。
なぜなら、$C$ と $\ell$ の共有点が接点の 1つだけだからです。
①=②として方程式をたてます。
$x^2-x-2=m(x-2)-1$
整理して
$x^2 - (m+1)x + 2m -1=0$
これが重解をもつ条件は、判別式 $D=0$ です。
$D=(m+1)^2 -4(2m-1)=0$
整理して因数分解します。
$m^2-6m-5=0$
$(m-5)(m-1)=0$
∴$m=5, \, m=1$
