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相加平均・相乗平均の成立条件
添付した画像のような相加平均・相乗平均の成立条件が分かりません。1つは成立条件として、a,bがそれぞれ0を含んでいませんが、もう片方は0も含んでいます。どちらが正しいのでしょうか。個人的な意見としては0を含んでも成り立つと思うのですが･･･。
教えていただけるとありがたいです。
回答
Beat Popさん、こんばんは。
はい、その条件は２通りあって、悩む場合もありますよね。
その不等式が成立するのは≧０で大丈夫です。
ただ、少なくとも一方が０の場合は、不等式自体があまりに当たり前の不等式になってしまい、「相加相乗平均の関係より」と大げさに言わなくたっていいので、多くの場合、等号は入れずに＞０を成立条件にしています。でも＝０の可能性があるときでも「≧０であるから」と記述して、その不等式を示すことは全く問題ないです。
これで大丈夫ですか？
証明可能であるという意味では、どちらも*正しい*です。ただし、どちらのほうが*適切か*は難しい問題です。0を含まない条件は、「a=0またはb=0で成立することは明らかであるため、わざわざ述べる必要がない」と考えることができます。一方、0を含む条件は、「緩い条件のほうが広い適用範囲を持つ」と考えることができます。著者の方針の違いと考えるのが無難だと思います。
綾野 穂香さん、くさぼうぼうです。回答者が少なく困っています。回答者として参加してくれてとても助かります。ありがとうございます。回答があなたのとダブることも多いかと思いますが、気にせず、２つの回答を質問者に返せればいいと思います。よろしくお願いします。（Beat Popさん、この場を借りでごめんね。）
くさぼうぼうさん、綾野 穂香さんご回答ありがとうございます。つまり、添付した画像に記載されていることはどちらも間違ってはいなくて、表現の仕方が著者によって変わっているということですね？