解答が合っているかについて

数学の解答では0 ≦ x ≦ πのときπ/4 ≦ x+π/4 ≦ 5π/4 であるから、-1/√2 ≦ sin(x+π/4) ≦ 1 と書かれていたのですが、 私は、-1/√2 ≦ sin(x+π/4) ≦ 1/√2 だと思います。なぜそうなるのか解説していただきたいです。

1108-09 yui さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 -π/√2 ≦ sin(x+π/4) ≦ π/√2 の分子に出てきているπは間違った？ -１/√2 ≦ sin(x+π/4) ≦ １/√2　のつもりっだったのでは？ まず、ここを確認してから回答しますね。 会話型を目指しています。 編集機能で質問文を訂正できます。あるいはコメント欄で返事を書いてください。 待っています。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ はい、了解しました。 あなたのように $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq\sin(x+\dfrac{\pi}{4})\leqq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ と答える人はたくさんいます。間違えやすいです。 ２次関数でも、範囲の両端で最大最小になるとは限らなかったですよね。頂点が範囲の中に入ると、そこで最大だったり最小だったりしましたよね。最大値が違っていますね。三角比（三角関数）の値は上がったり下がったりで波うっていますので、必ずしも端っこが最大や最小になるとは限りません。学年がわからないので、数Ⅰなのか数Ⅱなのかわからないので、数Ⅰとして説明します。もし数Ⅱならば、グラフをやっているでしょうから、$\dfrac{\pi}{4}\leqq x \leqq \dfrac{5\pi}{4}$ の範囲のグラフを調べてみてくださいね。 座標平面の上に原点を中心とした単位円（半径は１）を書きます。 単位円上の点のｘ座標がコサイン、ｙ座標がサインの値になります。これは大丈夫ですか？ $\dfrac{\pi}{4}\leqq \theta \leqq \dfrac{5\pi}{4}$ の範囲を考えます。 $\dfrac{\pi}{4}$から角θがだんだん増えていくと、半径の先端のｙ座標は$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ からだんだん増えて、半径の先端が(0,1)にきたとき、つまりθ＝π/2のときに$\sin\theta=1$ となり、さらに角θを大きくしていくと、半径の先端のｙ座標は減っていきます。どんどん減っていき角が５π/4の時にy座標は最小のー1/√２になります。 というわけで、範囲の両端ではなく、途中で１やー１になる場合があるので要注意です。 この問題では$x+\dfrac{\pi}{4}$の範囲の途中、つまり$x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ のところで最大値の１になるのです。 大事なのは、単位円を考えて、$x+\dfrac{\pi}{4}=\theta$ として、図の中での範囲を考えて、単位円上の点のｘ座標がコサイン、y座標がサインであることを忘れずに、最大最小を考えます。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。会話型を目指しています（笑）。 返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。 コメント、よろしく。それから、学年も教えてくださいね。