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相反方程式の解き方について
添付画像の例題の相反方程式を解くのになぜ因数定理が利用出来ないのかが分かりません。添付画像の赤線で引いたところがなぜ正しいといえるのかが分かれば解決できそうなのですが、、、。
教えていただけるとありがたいです。
回答
Beat Popさん、こんにちは。
はじめの赤（オレンジ？）線のように、はっきり断言するんだったら、ちゃんと理由も書いてくれればいいのにね！！！
わたしも、すでに相当な時間（それほどでもないか）をかけて考えましたが、「偶数次の相反方程式は代入して０になる有理数は見つからない」ことを証明できないのです。それで、反例はないだろうかと考えて、ｔの値から逆算して、見つけました！1次の因数を持つ4次の相反方程式を！
$2x^4+x^3-11x^2+x+2=0$ です。これはx=2を代入すると成り立ちますから
$(x-2)(2x^3+5x^2-x-1)=0$ と因数分解できました。
これはもっと因数分解でき、
$(x-2)(2x-1)(x^2+3x+1)=0$
「すべての偶数次の相反方程式は代入して０になる有理数は見つからない」というのは嘘ですね。ま、「たいていの場合は」を付け加えればいいのでしょうが。ここでは「この方程式は」が頭についていて、「この」というのは「偶数次の相反方程式」ではなく「この問題の」ということなのかな。
おかげさまで、午前中の時間をほぼ費やしてしまいました。ま、楽しいからいいけれど。
これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。
までいけます。
ということは、赤（オレンジ？？）線の主張は「
くさぼうぼうさん、ご回答ありがとうございます。つまり、添付画像上の赤線で引いたところはいつも相反方程式において成り立つわけではないということですね。そこで疑問があるのですが、今回のように置き換えを利用するような誘導がなかった場合、解答者はどのようにして因数定理が利用できないと判断すればよいのでしょうか？
う〜ん、数学的な答ではないですが、ぱっと見で見つからないときは、すぐに定石（=tと置く）でいったほうがいいですよ。
よくよく考えてみると、置き換えてるだけなので、因数定理を利用して解けるものを置き換えを利用して解いても結局同じところに行き着くのですね。確かにくさぼうぼうさんの言うようにぱっと見で見つからないときは定石でいったほうが効果的なのかもしれませんね。改めてご回答ありがとうございました。
すいません、これも赤線でひいてあるところなのですが、奇数次の相反方程式はx+1を必ず因数に持つのですか？
はい、左辺に-1を代入すれば0になるので、因数定理よりx×1という因数を持ちます。
なるほど、理解できました。回答ありがとうございました。