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単調減少 証明
こんにちは。
こちらの問題で、はてなをつけた2行の文章は必要かどうかを確認したいです、
ーxsinx は0からπ/2ではマイナスになるのは明らかなのかなと思ってしまったのですが、、
回答
eriさん、こんにちは。
「ーxsinx は0からπ/2ではマイナスになるのは明らか」ですね。写真の解答でも、青線の1行目の「よって」のあとになにも断らずに使っていますよ。
でもこれではh(x)（つまりｇ’(x)）が単調減少であることが言えただけです。
示したいのはh(x)（つまりg’(x)）が負の値を取り続けることですよ。
単調減少なのだから、区間の左端でh(x)（つまりg(x)）が０または負であれば、そこから減少するのだからg(x)<0がいえるのです。
その説明が青線の2，3行目です。
これは絶対に必要なことです。
よくある手段です。
「f(a)>0かつx≧aの範囲でf'(x)≧0がわかれば、ｘ≧aの範囲で、f(x)>0」とか、
「f(a)＝ｐかつx≧aの範囲でf'(x)≧0がわかれば、ｘ≧aの範囲で、f(x)>ｐ」
逆に
「f(a)<0かつx≧aの範囲でf'(x)≦0がわかれば、ｘ≧aの範囲で、f(x)＜0」とか、
「f(a)＝ｐかつx≧aの範囲でf'(x)≦0がわかれば、ｘ≧aの範囲で、f(x)＜ｐ」
これで大丈夫ですか？
今回は、0< x <π/2 の範囲が単調減少であるとは明らかだけど、 範囲外の左側(0を含むマイナス側も)が負となるのかを確認するために、 今回範囲外で左側で、かつ代入しやすい数字である0を入れて確かめたということであっていますでしょうか、、
いえ、代入しやすいからという理由で０を調べたのではないです。あくまでも範囲の左端（含まれてはいないけれども左端です！）が０だから０の時に正ではないことを確認したかったのです。左端が正でなければ（０か負）、そのあと単調減少しますので、その範囲ではずっと負であることを示せたのです。OK?
もしも範囲に0が含まれて(0≦x<p)いても同じようにやるのでしょうか、、？
そうです。グラフで考えてみてください。a<x<bの範囲でもa≦ｘ≦ｂでも、その部分で右下がり気味（単調減少）のグラフがⅹ軸より下にあることを確認するには左端x=aのところをチェックし、そこがｘ軸より下なら、その部分のグラフは全部ｘ軸より下であることが分かるわけです。わかる？
わかりました。ありがとうございます。