三角関数 証明

解説で疑問に思ったところにマーカーをしました。 赤マーカーのところは、どうやって45-14πを見つければいいのでしょうか？ 青マーカーと緑マーカーのところは、なぜ成り立つのでしょうか？ 紫マーカーのところは、どうやったらsin 1との大小で場合分けするという発想に辿り着くのでしょうか？ ご回答いただけると助かります。

Laithさん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 （１）ですが、これが解説というのではちょっとひどいですね！ これはもう調べるしかないでしょう。 サインは０からπ/2までは増加関数ですから、目標は１とπ/2のあいだにある角（ラジアン）θなら$\sin1<\sin\theta$ で、しかもθ＝ｎ±2kπと表せればいいのです。しょうがないですね、いろいろなｋで調べるのでしょうかね。±はーの方しかないことはわかります。 １＜ｎー2kπ＜π/2すなわち１＜n-6.2830×（整数ｋ）＜1.5707を満たすｎとｋを探すしかないかなぁ。 私はｋを１，２と調べたら、ｋ＝２のときn-12.5660＜1.5707を満たす整数n=14を見つけました。 このとき、θ＝14-12.5660=1.4340<1.5707なので大丈夫です。よってn=14も答です。答はいくつもありますよ。 （２）が（１）の理論的裏付けですね。なんか突然1/Nが出てきて戸惑っています。 これ以降はまたあとで。少し考えさせてください。わからないかもしれません。

赤マーカー: $45-14\pi$ は謎ですが、別の方法で解いたのでそれを紹介します。私の場合は、問題を見たときに $n=2,3,4$ あたりのとき条件を満たすか気になりました。第3象限と第4象限の角は明らかに条件を満たさないため、考えるべき角は第1象限と第2象限の角です。第1象限の角の場合は、$n$ が($+2\pi k$ の違いを除いて)区間 $(1, \pi / 2)$ 内にあるか調べればよいです。第2象限の角の場合は、$\sin n=\sin(\pi-n)$ を利用して角を第1象限に写し、$\pi-n$ が($+2\pi k$ の違いを除いて)区間 $(1, \pi / 2)$ 内にあるか調べればよいです。以上の考察を元に、$n=2$ を考えてみます。$2$ は第2象限の角であるため、$\pi-2$ が区間 $(1, \pi / 2)$ 内にあるか調べればよいです。実際に計算すると $1 < 1.1415 < 1.5707$ のように区間内にあることが分かるため、$\sin 1<\sin(\pi-2)=\sin 2$ です。偶然 $n=2$ ですぐ見つかりましたが、$n=2$ が仮に条件を満たさなかった場合でも、$n=3,4,5,\cdots$ と試していくことができます。 青マーカー: 鳩ノ巣原理「$n$ 個の部屋に $n+1$ 人が入るとき、$2$ 人以上入る部屋が少なくとも $1$ つは存在する」の応用です。鳩ノ巣原理については https://examist.jp/mathematics/integer/heyawarironpou/ や https://manabitimes.jp/math/692 などのサイトに詳しい解説があります。この問題では、部屋に相当するものが、区間 $[0, 1)$ を $N$ 等分してできる $N$ 個の小さな区間 $[0/N, 1/N), [1/N, 2/N), \cdots, [(N-1)/N, N/N)$ です。人に相当するものが $N+1$ 個の実数 $g(0), g(1), \cdots, g(N)$ です。$g(k) (k \geqq 0)$ は $2\pi k$ の小数部分であるため、$0 \leqq g(k) < 1$ です。そのため、各 $g(k) (k=0,1,\cdots,N)$ は $N$ 個の小さな区間のいずれかに属します。$N$ 個の区間に $N+1$ 個の実数が入るため、鳩ノ巣原理より、いずれかの $g(s), g(t)$ は同じ小さな区間に入ります。これを数式で書くと青マーカーにようになります。$g(s)<g(t)$ としても一般性が失われないことに注意してください。 緑マーカー: 主張を一般化すると「$0<A<B, 0<C<B-A$ ならば $A<lC<B$ を満たす整数 $l$ が存在する」です。整数 $k$ を $kC \leqq A < (k+1)C$ を満たすようにとると(このようにとれる理由は $0<C$)、$(k+1)C = kC+C \leqq A+C < B$ となるため $A < (k+1)C < B$ です。条件を満たす $l=k+1$ が見つかりました。この問題では、$A$ に相当するものが、$a-1$, $B$ に相当するものが、$\pi / 2 - 1$, $C$ に相当するものが、$g(t)-g(s)$ です。$g(t)-g(s)<1/N<\pi / 2 - a = (\pi/2-1)-(a-1)$ とうまく条件を満たしています。 紫マーカー: $(3)$の問題を言い換えると「$\sin n$ が最大値を持たないことを示せ」です。そのため $\pi/2+2\pi k$ に近い角の挙動にのみ関心があり、そこから遠い角を考えずに済む方法が欲しくなります。解説では、遠い角を考えずに済む方法として $\sin 1$ との大小で場合分けするという方法を採用しています。問題文で $1$ や $\sin 1$ が使われていることに着目し、これが誘導であることに気付くと、ある程度自然な発想に思えます。誘導がなかったら大変です。