楕円曲線と有理点の演習問題に関する質問

次の問題の解き方を教えてほしいです。 問 楕円曲線: y^2 = x^3 + 4x + 1 上のZ5有理点の集合を求めよ。 ここで、Z5は体を指し、Z5={0,1,2,3,4}です。 具体的な解き方がわからず、ひとまずx=0,1,2,3,4 の各場合についてmod5で計算した値のペアとして (0,1),(0,4),(1,1),(1,4),(3,0),(4,1),(4,4)を得ることができています。 そもそもこの考え方で合っているか。 この他にZ5有理点が存在するのか。 他の有理点が存在する場合の適切な導出方法はなんなのか。 以上の点でご回答頂けますと幸いです。