整数問題

5^x-3^y=2を満たす自然数(x,y)は(1,1)のみだと思うのですが、それ以外に解がない事が証明出来ません。高校数学の範囲でこの問題の記述を教えてください

$5^x-3^y=2$ を変形すると $5(5^{x-1}-1)=3(3^{y-1}-1)$ です。よって $3^{y-1} \equiv 1 \pmod 5$ です。$3^n \equiv 1 \pmod 5$ を満たす最小の正の整数 $n$ は $4$ です。$y-1$ を $4$ で割った商を $Q$, 余りを $R$ とおくと、$3^{y-1} \equiv (3^4)^Q \cdot 3^R \equiv 3^R \pmod 5$ より $3^R \equiv 1 \pmod 5$ です。$4$ が $3^n \equiv 1 \pmod 5$ を満たす最小の正の整数 $n$ であることと $0 \leqq R < 4$ より $R=0$ です。$Q > 0$ のとき $3^{y-1}-1 = (3^4)^Q-1 = (3^4-1)\lbrace (3^4)^{Q-1} + (3^4)^{Q-2} + \cdots + (3^4)^0 \rbrace$ です。よって $3^{y-1}-1$ は $3^4-1$ の倍数です。よって $5^{x-1}-1$ は $16$ の倍数です。同様に $5^{x-1}-1$ は $5^4-1$ の倍数です。よって $3^{y-1}-1$ は $52$ の倍数です。同様に $3^{y-1}-1$ は $3^6-1$ の倍数です。よって $5^{x-1}-1$ は $7$ の倍数です。同様に $5^{x-1}-1$ は $5^6-1$ の倍数です。よって $3^{y-1}-1$ は $3$ の倍数です。$y > 1$ を仮定すると $3^{y-1}$ は $3$ の倍数であるため矛盾します。よって $y = 1$ です。