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二次関数と傾きの変化をする直線の交点の数
とあるyoutubeの解説動画を見ておりましたら
[問題] x^2-ax+a=0の解の個数をaの値によって場合分けせよ
この問題を定数分離で解く方針により
y=x^2とy=a(x-1)が交点をもつ条件で考えグラフを書いて説明していました。
直線の方は(1,0)定点として傾きを変化させy=x^2と接するときは判別式D=a^2-4a=0
a=0,4
交点を二個持つときはa<0、a>4
交点を一つも持たないときは0<a<4
というように解説していました。
[質問] a<0、a>4の範囲について、紙にかける範囲内であればa(x-1)とx^2が二つの交点を持つことは納得がいくのですが、直線の傾きが二次関数の増加具合？よりも小さくあり続け無限にぶつからない可能性はなぜないとわかるんですか？
質問内容わかりにくくて申し訳ありません。
回答
加井 大介さん、こんにちは。
いや、その疑問は素直でいいですよ。言われたことをなんでも信じてしまってはいけない世の中ですから（笑）。
でも、a=4のときに接することは確かなのです。その接し方も、直線が下で放物線が上の状態で、１点で接します。
この状態を認めるなら、ａが４よりちょっと大きくなった状態も想像できますね。その時は２点で交わらざるを得ないですよね。
ａをどんどん大きくしていったら図が書けないかもしれないけれど、ⅹ軸y軸の目盛りの幅をものすごく小さくして、図を書こうとしてみてください。２点で交わるでしょ。
放物線の変化率（微分係数）は２ｘなのでｘが大きくなればいくらでも大きくなり、ａがどんなに大きい数であったとしてもｘが十分大きくなったところでａの値を超えていきます。
あるいは、２次導関数を学習済みなら、放物線は常に下に凸であることを知っているので、あなたが心配しているようなことは起こりません。
安心してください！
これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。
回答ありがとうございます 解説いただいた内容を自分の言葉で言い換えてみますと、直線のグラフは縮尺を小さくしても形が変化しないが放物線の場合、縮尺を小さくすると一見紙面上では一点のみしか交点を持たなかった二つのグラフが二点の交点を持つ(新たにもう一つの交点を持つ)（ただし接する場合を除く）。放物線の微分係数が2xであることから直線の傾きと違い一定ではなく、傾きが大きくなる。従って、下凸放物線と直線の関係において言えば、あるxの値において一度直線が放物線よりも上にyの値をとるなら必ずどこかで放物線に直線は傾きを越され、それに伴いどこかのxにおいてyの値も抜かされる（交点を新たに持つ）。このような理解で十分でしょうか？ 追加の質問で恐縮なのですが、たとえば、y=x^2 と y軸と一致するx=0だと、交点は一点しか持たず、放物線は広がってゆき直線は真上にしか伸びていかない。しかし少しでもx=0が負や正の方向に傾くと必ず交点を新たに持ち始める。という解釈で大丈夫でしょうか？
（前半）はい、それでいいと思います。 （後半）数学的な言い方としては微妙ですが、気持ちとしては「少しでもx=0が負や正の方向に傾くと必ず交点を新たに持ち始める」という想像はイメージとしてはあっています。
回答ありがとうございます 非常に勉強になりました。
どういたしまして。お役に立てたならよかったです。またどうぞ。